3) Um fio isolante uniformemente carregado tem comprimento l e densidade de carga uniforme λ , como mostrado na figura ao lado. O ponto P se situa à distância y do fio, verticalmente sobre seu centro. (a) Mostre que o campo elétrico em P é dado por

E = 1 2 π ϵ 0 λ s e n θ 0 y y ^

Dica: Explore a relação x = y t g θ e integre sobre a variável angular.

(b) Obtenha o campo elétrico para do fio infinito, E = 1 2 π ϵ 0 λ y , a partir do resultado do item (a).

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter o campo elétrico em um ponto P a uma distância y de um fio finito de comprimento l e densidade de carga uniforme λ .

E ai, tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para obter o campo elétrico a partir de uma linha de carga, podemos aplicar a lei de Gauss dada por

∮ E d S = q e n v ϵ 0

Bora ver como essa equação se encaixa no nosso problema? 😁

Passo 2

Como o fio possui uma densidade de carga uniforme, o campo elétrico gerado por ele também ser�� uniforme, então podemos tirar E da integral

∮ E d S = q e n v ϵ 0

E ∮ d S = q e n v ϵ 0

Assim, podemos definir uma superfície gaussiana cilíndrica que envolve o fio e dizer que ∮ d S é a área superficial desse cilindro

∮ d S = 2 π y l

Substituindo na equação de Gauss

E 2 π y l = q e n v ϵ 0

E = q e n v 2 π y l ϵ 0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Nosso próximo passo é obter a carga envolvida q e n v .

Como temos uma densidade linear de carga, temos

λ = d q d l → d q = λ d l

Integrando nos dois lados, temos

∫ d q = ∫ λ d l

Como λ é uniforme, podemos tirá-lo da integral

q e n v = λ ∫ d l

q e n v = λ l

Substituindo na lei de Gauss

E = λ l 2 π y l ϵ 0

E = λ 2 π y ϵ 0

Porém, E não é constante em todos os valores de θ , já que o fio é finito. Então temos

Perceba que para a variação de θ em todo do fio, as somas infinitesimais de d E · cos ⁡ θ se anulam, assim restando apenas a componente d E · s e n θ .

Portanto, temos que corrigir nosso resultado multiplicando E pelo s e n θ

E = λ s e n θ 2 π y ϵ 0

Entendeu essa parte? 😉

Passo 4

E para o item b) temos que fazer a mesma análise para um fio infinito.

Pra isso podemos reaproveitar o resultado do item a) e fazer algumas análises.

E = λ s e n θ 2 π y ϵ 0

Caso o fio fosse infinito, o problema seria exatamente até o ponto anterior que acrescentamos o s e n θ ao campo.

Isso porque para o campo de um fio infinito, não seria necessário fazer aquela análise dos vetores de d E já que o ângulo do ponto ao fio não faria diferença.

Assim, o campo para um fio infinito é dado por

E = λ 2 π y ϵ 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

E = 1 2 π ϵ 0 λ s e n θ 0 y

E = λ 2 π y ϵ 0

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