3.8) Um fio metálico cilíndrico de raio a é envolvido por uma capa metálica cilíndrica de raio

b . Um plástico isolante e não magnético preenche o espaço entre o fio e a capa (podemos

tratá-lo como vácuo). Uma corrente de mesma intensidade I se propaga no fio e na capa

em sentidos opostos. Calcule a autoindutância por unidade de comprimento do cabo.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

nesse problema temos um cabo coaxial cujo cabo interno tem raio a e o cabo externo tem raio interno b . Entre os cabos, há um plástico isolante entre a e b que podemos tratar como sendo o vácuo. No fio interno, há uma corrente I e no fio externo uma corrente - I .

A partir daí queremos descobrir qual é a autoindutância por unidade de comprimento do cabo.

Como fazemos isso? 🤔

Lembra da lei de Ampere?

I e n v = ∫ H d l = ∫ B μ 0 d l

Então como sabemos que o comprimento l da circunferência é 2 π r , então

I e n v = 2 π r B μ 0

Logo, temos que o campo B é dado por

B = μ 0 I e n v 2 π r

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 2

Ok, mas o que isso tem a ver com a autoindutância?

A indutância é obtida pela razão entre o fluxo magnético e a corrente elétrica

L = λ I

Mas o que é o fluxo λ ?

λ = ∫ B d A

Ou seja

L = ∫ B d A I

Podemos substituir d A como l d r ...

L = ∫ B l d r I

L = ∫ μ 0 I e n v 2 π r l d r I

Como I e n v = I e simplificando essa equação, temos

L = ∫ μ 0 I 2 π r l d r I

L = μ 0 I l 2 π I ∫ 1 r d r

Integrando entre b e a e passando l dividindo L ...

L = μ 0 l 2 π ∫ a b 1 r d r

L l = μ 0 2 π ln ⁡ r a b

L l = μ 0 2 π ln ⁡ b a

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

L l = μ 0 2 π ln ⁡ b a

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