Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

Ver Teoria

Enunciado

Determine e faça o esboço do domínio da função f x , y = l n ⁡ ( y - x 2 ) 16 - 4 x 2 + y 2

Passo 1

Oiii pessoal, tudo bem?

Se liga, nesse exercício temos essa função

f x , y = ln ⁡ y - x 2 16 - 4 x 2 + y 2

E aí queremos encontrar o domínio dela

Só pra lembrar, em uma função de várias variáveis, o domínio vai incluir todos os pontos ( x , y ) , exceto os que

- Fazem a raíz ser negativa

- Fazem o denominador zerar

- Fazem o logaritmando ser menor ou igual a 0

Então vamos ver quais são os valores de x e/ou y que fazem alguma dessas coisas acontecer, porque aí eles vão estar fora do domínio

Passo 2

Pra começar, temos um logaritmo no numerador da função. O logaritmando precisa ser sempre maior do que 0 , então:

y - x 2 > 0

y > x ²

Então temos a região acima da parábola x ²

Passo 3

Além disso, temos uma raíz quadrada no denominador. Isso vai ter que ser > 0 pra termos uma raíz positiva (não pode ser igual a zero pra não zerar o denominador). Então olha:

16 - 4 x 2 + y 2 > 0

- 4 x 2 + y 2 > 16

Dividindo tudo por 16 :

- x 2 4 + y 2 16 > 1

- x 2 2 ² + y 2 4 ² > 1

Isso forma a equação de uma hipérbole ao longo do eixo y (porque é o x quem está negativo) com a = 4 e b = 2 .

A distância entre os vértices é 2 a = 8 e a hipérbole é centrada na origem, assim:

Passo 4

Então, o nosso domínio vai incluir todos os pontos ( x , y ) , exceto os que deram problema nos itens anteriores:

D = x , y ∈ R 2 y > x 2 , - x 2 2 2 + y 2 4 2 > 1

E a região que cumpre essas duas condições é a região formada pela intersecção entre os gráficos dos itens anteriores:

Sucesso entãooo

Resposta

D = x , y ∈ R 2 y > x 2 , - x 2 2 2 + y 2 4 2 > 1

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. f x , y = 4 x 2 + y ² ²
Descreva as superfícies de nível da função. f x , y , z = y 2 + z 2
Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Imprima a que, em sua opinião, oferece a melhor visão. Se seu programa também produz curvas de nível, tr
Esboce o gráfico da função. f x , y = 4 x 2 + y 2
Utilize um computador para traçar o gráfico da função, usando vários pontos de vista e tamanhos de janela. Comente o comportamento da função no limite. O que acontece quando x e y se tornam muito gran