Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como

máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente

i )   f x = x - ln ⁡ x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = x - ln ⁡ x

E pediu diversas coisas, vamos juntos decifrar o que significa cada uma dessas coisas?

“determine os pontos críticos”: pontos críticos são os pontos nos quais a derivada é igual a zero. Então aqui precisamos derivar f ( x ) e igualar a zero.

“classifique-os como máximos e mínimos locais”: um ponto de máximo será quando em torno do ponto crítico a derivada passou de positiva para negativa. E um ponto de mínimo acontece quando em torno do ponto, a derivada passa de um valor negativo para positivo

E por fim “determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente”: a função apresenta um comportamento crescente quando sua derivada é positiva, e decrescente quando é negativa

e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x - ln ⁡ x

Para fazer a análise dos pontos críticos precisamos achar a derivada e igualar ela a zero:

f ' x = 1 - 1 x = 0

1 = 1 x

x = 1

Beleza? Temos apenas um ponto crítico: em x = 1 , agora vamos substituir na função e descobrir a ordenada:

f 1 = 1 - ln ⁡ 1 = 1

Então o ponto crítico é

( 1,1 )

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada em torno desse ponto de x = 1 :

  • Para x < 1 , mas maior do que zero (em zero a derivada não está definida):
  • f ' 1 2 = 1 - 1 1 2 = 1 - 2 < 0

    Então entre 0 e 1 a derivada assume valores negativos, então ali a função é decrescente d e c r e s c e n t e : ( 0,1 )

  • Para x > 1 :

f ' 2 = 1 - 1 2 > 0

E à medida que x aumenta, o termo - 1 x → 0 , então temos que a derivada é positiva dali em diante, sendo a função crescente nesse intervalo

c r e s c e n t e : ( 1 , ∞ )

Beleza?

Passo 4

Agora vamos classificar esse ponto!

x = 1 a derivada passou de valores negativos para positivos, então esse é um ponto de mínimo local

Obs.: embora a derivada esteja definida para x < 0 , a função não está, então não faz sentido analisarmos antes do zero, beleza?

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

1,1   m í n i m o   l o c a l

c r e s c e n t e   1 , ∞

d e c r e s c e n t e   ( 0,1 )

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x