Calcule os pontos críticos (se existirem) de:

(d) f x = x 2 e - x 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos críticos da função f ( x ) , se eles existirem.

Pra isso, a gente tem que lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos onde a derivada dela é nula ou não existe. Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada, f ' ( x ) , analisar a expressão obtida (pra ver se existe algum ponto onde ela não existe) e igualar essa derivada a zero, para encontrar os valores críticos da função.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 2 e - x 2

Derivando usando a regra do produto e a regra da cadeia, vamos ter:

f ' x = d d x x 2 e - x 2 ∙ d d x e - x 2 x 2

f ' x = 2 x e - x 2 + - 2 e - x 2 x 2

f ' x = e - x 2 ( 2 x - 2 x 3 )

Como essa é uma composição de uma função exponencial com uma função polinomial, ela existe para todos os valores de x . Então, só nos resta igualar a expressão a zero para encontrar nossos pontos críticos. Fazendo:

f ' x = 0

- 2 e - x 2 x ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro, pelo menos um dos termos precisa ser igual a zero. Mas função exponencial nunca zera. Então, temos:

x = 0

ou

x + 1 = 0 → x = - 1

ou

x - 1 = 0 → x = 1

Isso significa que os pontos críticos dessa função, que zeram a nossa derivada, se encontram em x = 0 ,   x = 1 e x = - 1 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = 0 ,     x = 1 ,     x = - 1

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