Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:

(b) f x = 3 x 4 - 10 x 3 - 12 x 2 + 10 x + 9

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de inflexão da função e determinar também intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo. E quem poderá nos defender?

Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se f ' ' x > 0 num intervalo a ,   b , então a função f é côncava para cima nesse intervalo. E se f ' ' x < 0 num intervalo ( a ,   b ) , então a função f é côncava para baixo nesse intervalo.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para f ' ' x > 0 e f ' ' x < 0 . Tá, e quando f ' ' x = 0 ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = 3 x 4 - 10 x 3 - 12 x 2 + 10 x + 9

Derivando ela em relação a x , usando a regrinha da potência, vamos obter:

f ' x = 12 x 3 - 30 x 2 - 24 x + 10

Derivando mais uma vez, temos a segunda derivada:

f ' ' x = 36 x 2 - 30 x - 24

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando f ' ' x > 0 :

36 x 2 - 30 x - 24 > 0

Simplificando, vamos ter:

6 x 2 - 5 x - 4 > 0

Fatorando a expressão:

2 x + 1 3 x - 4 > 0

Assim, temos:

2 x + 1 > 0 → x < - 1 2

3 x - 4 > 0 → x > 4 3

Então, nossa função tem concavidade para cima no intervalo - ∞ , - 1 2 ∪ 4 3 ,   + ∞ .

Passo 4

Da mesma forma, fazendo f ' ' x < 0 , temos:

2 x + 1 3 x - 4 < 0

- 1 2 < x < 4 3

E a nossa função tem concavidade para baixo no intervalo - 1 2 , 4 3 .

Passo 5

Agora vamos verificar nossos pontos de inflexão fazendo f ' ' x = 0 :

36 x 2 - 30 x - 24 = 0

2 x + 1 3 x - 4 = 0

Assim, temos:

2 x + 1 = 0 → x = - 1 2

3 x - 4 = 0 → x = 4 3

Portanto, temos nossos pontos de inflexão em x = - 1 2 e x = 4 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → - ∞ , - 1 2 ∪ 4 3 ,   + ∞

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o →   - 1 2 , 4 3

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → x = - 1 2   e     x = 4 3  

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