Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:

(d) f x = ln ⁡ ( x 2 - 2 x + 2 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de inflexão da função e determinar também intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo. E quem poderá nos defender?

Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se f ' ' x > 0 num intervalo a ,   b , então a função f é côncava para cima nesse intervalo. E se f ' ' x < 0 num intervalo ( a ,   b ) , então a função f é côncava para baixo nesse intervalo.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para f ' ' x > 0 e f ' ' x < 0 . Tá, e quando f ' ' x = 0 ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = ln ⁡ ( x 2 - 2 x + 2 )

Derivando ela em relação a x , usando a regra da cadeia, vamos obter:

f ' x = 1 x 2 - 2 x + 2 ∙ d d x ( x 2 - 2 x + 2 )

f ' x = 2 x - 2 x 2 - 2 x + 2

Derivando mais uma vez, usando a regra do quociente, temos a segunda derivada:

f ' ' x = - 2 x 2 + 4 x x 2 - 2 x + 2 2

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando f ' ' x > 0 :

- 2 x 2 + 4 x x 2 - 2 x + 2 2 > 0 →   x ( x - 2 ) x 2 - 2 x + 2 2 < 0

x x - 2 < 0

Logo,

0 < x < 2

Então, nossa função tem concavidade para cima no intervalo 0 ,   2 .

Passo 4

Da mesma forma, fazendo f ' ' x < 0 , temos:

- 2 x 2 + 4 x x 2 - 2 x + 2 2 < 0

→   x ( x - 2 ) x 2 - 2 x + 2 2 > 0

Assim, temos:

x x - 2 > 0

x < 0   o u   x > 2

E a nossa função tem concavidade para baixo no intervalo - ∞ , 0 ∪ ( 2 ,   + ∞ ) .

Passo 5

Agora vamos verificar nossos pontos de inflexão fazendo f ' ' x = 0 :

- 2 x 2 + 4 x x 2 - 2 x + 2 2 = 0

Como o denominador nunca pode ser zero, temos:

- 2 x 2 + 4 x = 0 → - x 2 x - 4 = 0

Que implica em:

x = 0  

Ou

2 x - 4 = 0 → x = 2

Portanto, temos pontos de inflexão em x = 0 e x = 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → 0 ,   2

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o →   - ∞ , 0 ∪ ( 2 ,   + ∞ )

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → x = 0       e     x = 2

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