Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:

(e) f x = x 1 + x 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de inflexão da função e determinar também intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo. E quem poderá nos defender?

Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se f ' ' x > 0 num intervalo a ,   b , então a função f é côncava para cima nesse intervalo. E se f ' ' x < 0 num intervalo ( a ,   b ) , então a função f é côncava para baixo nesse intervalo.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para f ' ' x > 0 e f ' ' x < 0 . Tá, e quando f ' ' x = 0 ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 1 + x 2

Derivando ela em relação a x , usando a regra do produto, vamos obter:

f ' x = 1 ∙ 1 + x 2 + 1 2 1 + x 2 ∙ 2 x

f ' x = 2 x 2 + 1 1 + x 2

Derivando mais uma vez, usando a regra do quociente, temos a segunda derivada:

f ' ' x = 2 x 3 + 3 x ( 1 + x 2 ) 1 + x 2

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando f ' ' x > 0 :

2 x 3 + 3 x ( 1 + x 2 ) 1 + x 2 > 0

2 x 3 + 3 x > 0 → x 2 x 2 + 3 > 0

Logo,

x > 0

Então, nossa função tem concavidade para cima no intervalo 0 ,   + ∞ .

Passo 4

Da mesma forma, fazendo f ' ' x < 0 , temos:

2 x 3 + 3 x ( 1 + x 2 ) 1 + x 2 < 0

→   x < 0

E a nossa função tem concavidade para baixo no intervalo - ∞ , 0 .

Passo 5

Agora vamos verificar nossos pontos de inflexão fazendo f ' ' x = 0 :

2 x 3 + 3 x ( 1 + x 2 ) 1 + x 2 = 0

Como o denominador nunca pode ser zero, temos:

2 x 3 + 3 x = 0

Que tem como única solução real:

x = 0  

Portanto, temos nosso ponto de inflexão em x = 0 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → 0 ,   + ∞

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o →   - ∞ , 0

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → x = 0

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