Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:

(f) f x = 2 x e - 3 x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de inflexão da função e determinar também intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo. E quem poderá nos defender?

Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se f ' ' x > 0 num intervalo a ,   b , então a função f é côncava para cima nesse intervalo. E se f ' ' x < 0 num intervalo ( a ,   b ) , então a função f é côncava para baixo nesse intervalo.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para f ' ' x > 0 e f ' ' x < 0 . Tá, e quando f ' ' x = 0 ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = 2 x e - 3 x

Derivando ela em relação a x , usando a regra do produto, vamos obter:

f ' x = 2 e - 3 x - 6 x e - 3 x

f ' x = 2 e - 3 x ( 1 - 3 x )

Derivando mais uma vez, temos a segunda derivada:

f ' ' x = 2 e - 3 x ( 9 x - 6 )

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando f ' ' x > 0 :

2 e - 3 x ( 9 x - 6 ) > 0

e - 3 x ( 9 x - 6 ) > 0

Como a exponencial é sempre maior do que zero, temos:

9 x - 6 > 0 → x > 2 3

Então, nossa função tem concavidade para cima no intervalo 2 3 ,   + ∞ .

Passo 4

Da mesma forma, fazendo f ' ' x < 0 , temos:

2 e - 3 x ( 9 x - 6 ) < 0

e - 3 x 9 x - 6 < 0 → x < 2 3

E a nossa função tem concavidade para baixo no intervalo - ∞ , 2 3 .

Passo 5

Agora vamos verificar nossos pontos de inflexão fazendo f ' ' x = 0 :

2 e - 3 x ( 9 x - 6 ) = 0

→ 9 x - 6 = 0

→ x = 2 3  

Portanto, temos nosso ponto de inflexão em x = 2 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → 2 3 ,   + ∞

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o →   - ∞ , 2 3

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → x = 2 3

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