Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:

(h) f x = sin ⁡ x 3 + cos ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de inflexão da função e determinar também intervalos onde a função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo. E quem poderá nos defender?

Ela mesmo. Isso porque existe um teorema que nos diz que se f ' ' x > 0 num intervalo a ,   b , então a função f é côncava para cima nesse intervalo. E se f ' ' x < 0 num intervalo ( a ,   b ) , então a função f é côncava para baixo nesse intervalo.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa função duas vezes e estudar o sinal dela, para f ' ' x > 0 e f ' ' x < 0 . Tá, e quando f ' ' x = 0 ? Aí teremos o famoso ponto de inflexão, que é quando a função muda de concavidade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = sin ⁡ x 3 + cos ⁡ x

Derivando ela em relação a x , usando a regra do quociente, vamos obter:

f ' x = 1 + 3 cos ⁡ x 3 + cos ⁡ x 2

Derivando mais uma vez, temos a segunda derivada:

f ' ' x = sin ⁡ x ( 3 cos ⁡ x - 7 ) 3 + cos ⁡ x 3

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando f ' ' x > 0 :

sin ⁡ x 3 cos ⁡ x - 7 3 + cos ⁡ x 3 > 0

Como essa é uma função periódica, vamos analisar os intervalos que satisfaçam essa condição da desigualdade, para 0 ≤ x < 2 π :

Repare, na última linha da tabela, que essa função só é positiva para π < x < 2 π .   Então, nossa função tem concavidade para cima no intervalo π ,   2 π .

Da mesma forma, olhando na tabela, vamos que f ' ' x < 0 para 0 < x < π . Então, nossa função tem concavidade para baixo no intervalo 0 , π .

Ultilizando a periodicidade, para um número inteiro k , podemos extender essa análise para todo domínio da função, escrevendo:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → π + 2 k π < x < 2 π + 2 k π

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o →   2 k π < x < π + 2 k π

Passo 4

Agora vamos verificar nossos pontos de inflexão fazendo f ' ' x = 0 :

sin ⁡ x 3 cos ⁡ x - 7 3 + cos ⁡ x 3 = 0 →   sin ⁡ x 3 cos ⁡ x - 7 = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro, temos:

sin ⁡ x = 0     o u     3 cos ⁡ x - 7 = 0

Para sin ⁡ x = 0 , teremos:

x = 2 k π  

x = π + 2 k π

E para 3 cos ⁡ x - 7 = 0 não temos solução real. Então, nossos pontos de inflexão ocorrem em x = 2 k π ou x = π + 2 k π , onde k é um número inteiro.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → π + 2 k π < x < 2 π + 2 k π

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o →   2 k π < x < π + 2 k π

P o n t o   d e   i n f l e x ã o → x = 2 k π           e           x = π + 2 k π

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função h p = p - 1 p 2 + 4