Calcule os pontos de máximo e de mínimo relativos (se existirem) de:

(a) f x = 7 x 2 - 6 x + 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de máximo e de mínimo relativos da função. Eles são relativos porque podem ser máximos/mínimos locais ou globais, beleza?

Mas o quê que pontos de máximo e mínimo tem em comum? Isso mesmo, a derivada da curva é nula naquele ponto. Ou seja, se em x = c temos um ponto de máximo ou mínimo, então:

f ' c = 0

Como a gente sabe que os pontos onde a derivada é zero ou não existe são chamados de pontos críticos, a gente já conclui que pontos de máximo/mínimo serão sempre pontos críticos da função.

Tá, mas agora como diferencias os pontos que são de máximo dos pontos que são de mínimo? Pra isso, existe o teste da segunda derivada. Porque dada uma função f e x = c sendo um ponto crítico da função, teremos:

f ' ' c > 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' c < 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = 7 x 2 - 6 x + 2

Vamos começar derivando ela para encontrar seus pontos críticos. Derivando usando a regrinha da potência, temos:

f ' x = 14 x - 6

Agora vamos igualar esse resultado a zero:

14 x - 6 = 0

E isolar x :

14 x = 6

x = 6 14 → x = 3 7

Então, x = 3 7 é um candidato a máximo ou mínimo da função.

Passo 3

Agora derivando f ' ( x ) novamente, encontramos a segunda derivada:

f ' ' x = 14

Então, f ' ' é sempre positiva ( f ' ' x > 0 ). Portanto, pelo teste da segunda derivada, x = 3 7 é um ponto de mínimo da função. Substituindo esse valor em f ( x ) , temos:

f x = 7 3 7 2 - 6 3 7 + 2 = 5 7

E temos nosso ponto:

3 7 , 5 7

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 7 , 5 7

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