Calcule os pontos de máximo e de mínimo relativos (se existirem) de:

(b) f x = x x 2 + 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de máximo e de mínimo relativos da função. Eles são relativos porque podem ser máximos/mínimos locais ou globais, beleza?

Mas o quê que pontos de máximo e mínimo tem em comum? Isso mesmo, a derivada da curva é nula naquele ponto. Ou seja, se em x = c temos um ponto de máximo ou mínimo, então:

f ' c = 0

Como a gente sabe que os pontos onde a derivada é zero ou não existe são chamados de pontos críticos, a gente já conclui que pontos de máximo/mínimo serão sempre pontos críticos da função.

Tá, mas agora como diferencias os pontos que são de máximo dos pontos que são de mínimo? Pra isso, existe o teste da segunda derivada. Porque dada uma função f e x = c sendo um ponto crítico da função, teremos:

f ' ' c > 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' c < 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x x 2 + 4

Vamos começar derivando ela para encontrar seus pontos críticos. Derivando usando a regra do quociente, temos:

f ' x = - x 2 + 4 x 2 + 4 2

Agora vamos igualar esse resultado a zero:

- x 2 + 4 x 2 + 4 2 = 0

Como o denominador nunca zera, temos:

- x 2 + 4 = 0

x 2 = 4 → x = ± 2

Então, x = 2 e x = - 2 são candidatos a máximo ou mínimo da função.

Passo 3

Agora derivando f ' ( x ) novamente, encontramos a segunda derivada:

f ' ' x = - 2 x ( - x 2 + 12 ) x 2 + 4 3

Substituindo x = 2 em f ' ' ( x ) , temos:

f ' ' 2 = - 2 ∙ ( 2 ) ( - ( 2 ) 2 + 12 ) ( 2 ) 2 + 4 3 = - 32 512 = - 1 1 6

Agora para x = - 2 , temos:

f ' ' - 2 = - 2 ∙ ( - 2 ) ( - ( - 2 ) 2 + 12 ) ( - 2 ) 2 + 4 3 = 32 512 = 1 1 6

Então, para x = 2 temos f ' ' < 0 e para x = - 2 , temos f ' ' > 0 . Assim, pelo teste da segunda derivada, x = 2 é um ponto de máximo da função e x = - 2 é um ponto de mínimo. Substituindo esses valores em f ( x ) , temos:

f 2 = 2 2 2 + 4 = 2 8 = 1 4

f - 2 = - 2 ( - 2 ) 2 + 4 = - 2 8 = - 1 4

E temos os pontos:

M á x i m o → 2 , 1 4

M í n i m o → - 2 ,   - 1 4

Valeu, galera! Até a próxima! ���

Resposta

M á x i m o → 2 , 1 4

M í n i m o → - 2 ,   - 1 4

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