Calcule os pontos de máximo e de mínimo relativos (se existirem) de:

(c) f x = 8 x + x 2 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de máximo e de mínimo relativos da função. Eles são relativos porque podem ser máximos/mínimos locais ou globais, beleza?

Mas o quê que pontos de máximo e mínimo tem em comum? Isso mesmo, a derivada da curva é nula naquele ponto. Ou seja, se em x = c temos um ponto de máximo ou mínimo, então:

f ' c = 0

Como a gente sabe que os pontos onde a derivada é zero ou não existe são chamados de pontos críticos, a gente já conclui que pontos de máximo/mínimo serão sempre pontos críticos da função.

Tá, mas agora como diferenciar os pontos que são de máximo dos pontos que são de mínimo? Pra isso, existe o teste da segunda derivada. Porque dada uma função f e x = c sendo um ponto crítico da função, teremos:

f ' ' c > 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' c < 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = 8 x + x 2 2

Vamos começar derivando ela para encontrar seus pontos críticos. Derivando usando a regra do quociente, temos:

f ' x = - 8 x 2 + 4 x 4 → f ' x = - 8 x 2 + x

Agora vamos igualar esse resultado a zero:

- 8 x 2 + x = 0

Tirando o M.M.C.:

- 8 + x 3 x 2 = 0

Como o denominador nunca zera, temos:

- 8 + x 3 = 0

x 3 = 8 → x = 2

Então, x = 2 é um candidatoa a máximo ou mínimo da função.

Passo 3

Agora derivando f ' ( x ) novamente, encontramos a segunda derivada:

f ' ' x = 16 x 3 + 1

Substituindo x = 2 em f ' ' ( x ) , temos:

f ' ' 2 = 16 2 3 + 1 = 16 8 + 1 = 3

Então, para x = 2 temos f ' ' > 0 . Assim, pelo teste da segunda derivada, x = 2 é um ponto de mínimo da função. Substituindo esse valor em f ( x ) , temos:

f 2 = 8 2 + ( 2 ) 2 2 = 4 + 2 = 6

E temos o ponto:

M í n i m o → 2 ,   6

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M í n i m o → 2 ,   6

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