Calcule os pontos de máximo e de mínimo relativos (se existirem) de:

(d) f x = x x + 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de máximo e de mínimo relativos da função. Eles são relativos porque podem ser máximos/mínimos locais ou globais, beleza?

Mas o quê que pontos de máximo e mínimo tem em comum? Isso mesmo, a derivada da curva é nula naquele ponto. Ou seja, se em x = c temos um ponto de máximo ou mínimo, então:

f ' c = 0

Como a gente sabe que os pontos onde a derivada é zero ou não existe são chamados de pontos críticos, a gente já conclui que pontos de máximo/mínimo serão sempre pontos críticos da função.

Tá, mas agora como diferenciar os pontos que são de máximo dos pontos que são de mínimo? Pra isso, existe o teste da segunda derivada. Porque dada uma função f e x = c sendo um ponto crítico da função, teremos:

f ' ' c > 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' c < 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x x + 3

Vamos começar derivando ela para encontrar seus pontos críticos. Derivando usando a regra do produto junto com a regra da cadeia, temos:

f ' x = x + 3 + x 1 2 x + 3

f ' x = 3 x + 6 2 x + 3

Agora vamos igualar esse resultado a zero:

3 x + 6 2 x + 3 = 0

Como o denominador nunca zera, temos:

3 x + 6 = 0

3 x = - 6 → x = - 2

Então, x = - 2 é um candidato a máximo ou mínimo da função.

Passo 3

Agora derivando f ' ( x ) novamente, usando a regra do quociente, encontramos a segunda derivada:

f ' ' x = 3 x + 12 4 x + 3 x + 3

Substituindo x = - 2 em f ' ' ( x ) , temos:

f ' ' - 2 = 3 ( - 2 ) + 12 4 - 2 + 3 - 2 + 3 = 6 4 = 3 2

Então, para x = - 2 temos f ' ' > 0 . Assim, pelo teste da segunda derivada, x = - 2 é um ponto de mínimo da função. Substituindo esse valor em f ( x ) , temos:

f - 2 = - 2 - 2 + 3 = - 2

E temos o ponto:

M í n i m o → - 2 ,   - 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M í n i m o → - 2 ,   - 2

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