Calcule os pontos de máximo e de mínimo relativos (se existirem) de:

(f) f x = x ln ⁡ x 2 + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de máximo e de mínimo relativos da função. Eles são relativos porque podem ser máximos/mínimos locais ou globais, beleza?

Mas o quê que pontos de máximo e mínimo tem em comum? Isso mesmo, a derivada da curva é nula naquele ponto. Ou seja, se em x = c temos um ponto de máximo ou mínimo, então:

f ' c = 0

Como a gente sabe que os pontos onde a derivada é zero ou não existe são chamados de pontos críticos, a gente já conclui que pontos de máximo/mínimo serão sempre pontos críticos da função.

Tá, mas agora como diferenciar os pontos que são de máximo dos pontos que são de mínimo? Pra isso, existe o teste da segunda derivada. Porque dada uma função f e x = c sendo um ponto crítico da função, teremos:

f ' ' c > 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' c < 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x ln ⁡ x 2 + 1

Vamos começar derivando ela para encontrar seus pontos críticos. Derivando usando a regra da cadeia junto com a regra do produto, temos:

f ' x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + x 2 x 2 + 1

Agora vamos igualar esse resultado a zero:

1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + x 2 x 2 + 1 = 0

Repare que essa equação não tem solução, isso nos indica que a nossa função não tem pontos de máximo ou de mínimo. Ela possui apenas um ponto de inflexão na origem, como pode ser visto no gráfico a seguir:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   e x i s t e

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x