Calcule os pontos de máximo e de mínimo relativos (se existirem) de:

(h) f x = arctan ⁡ ( x 2 - x - 2 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de máximo e de mínimo relativos da função. Eles são relativos porque podem ser máximos/mínimos locais ou globais, beleza?

Mas o quê que pontos de máximo e mínimo tem em comum? Isso mesmo, a derivada da curva é nula naquele ponto. Ou seja, se em x = c temos um ponto de máximo ou mínimo, então:

f ' c = 0

Como a gente sabe que os pontos onde a derivada é zero ou não existe são chamados de pontos críticos, a gente já conclui que pontos de máximo/mínimo serão sempre pontos críticos da função.

Tá, mas agora como diferenciar os pontos que são de máximo dos pontos que são de mínimo? Pra isso, existe o teste da segunda derivada. Porque dada uma função f e x = c sendo um ponto crítico da função, teremos:

f ' ' c > 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' c < 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = arctan ⁡ ( x 2 - x - 2 )

Vamos começar derivando ela para encontrar seus pontos críticos. Derivando usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = 2 x - 1 x 4 - 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5

Agora vamos igualar esse resultado a zero:

2 x - 1 x 4 - 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 = 0

Como o denominador nunca é zero, temos:

2 x - 1 = 0

2 x = 1 → x = 1 2  

Então esse é o nosso candidato a máximo ou mínimo da função.

Passo 3

Agora derivando f ' ( x ) novamente, usando a regra do quociente, encontramos a segunda derivada:

f ' ' x = - 6 x 4 + 12 x 3 - 6 x + 14 x 4 - 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 2

Substituindo x = 1 2 em f ' ' ( x ) , temos:

f ' ' 1 2 = - 6 1 2 4 + 12 1 2 3 - 6 1 2 + 14 1 2 4 - 2 1 2 3 - 3 1 2 2 + 4 1 2 + 5 2 = 32 97

Então, em x = 1 2 , temos f ' ' > 0 . Portanto, pelo teste da segunda derivada, temos um ponto de mínimo na função. Substituindo em f ( x ) fica:

f 1 2 = arctan ⁡ 1 2 2 - 1 2 - 2 = arctan ⁡ - 9 4 = - arctan ⁡ 9 4

E temos:

M í n i m o → 1 2 , - arctan ⁡ 9 4

Valeu, galera! At�� a próxima! 😉

Resposta

M í n i m o → 1 2 , - arctan ⁡ 9 4

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