Calcule os pontos de máximo e de mínimo relativos (se existirem) de:

(e) f x = sin ⁡ π 2 x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de máximo e de mínimo relativos da função. Eles são relativos porque podem ser máximos/mínimos locais ou globais, beleza?

Mas o quê que pontos de máximo e mínimo tem em comum? Isso mesmo, a derivada da curva é nula naquele ponto. Ou seja, se em x = c temos um ponto de máximo ou mínimo, então:

f ' c = 0

Como a gente sabe que os pontos onde a derivada é zero ou não existe são chamados de pontos críticos, a gente já conclui que pontos de máximo/mínimo serão sempre pontos críticos da função.

Tá, mas agora como diferenciar os pontos que são de máximo dos pontos que são de mínimo? Pra isso, existe o teste da segunda derivada. Porque dada uma função f e x = c sendo um ponto crítico da função, teremos:

f ' ' c > 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' c < 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = sin ⁡ π 2 x

Vamos começar derivando ela para encontrar seus pontos críticos. Derivando usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = cos ⁡ π x 2 ∙ π 2

Agora vamos igualar esse resultado a zero:

cos ⁡ π x 2 ∙ π 2 = 0

→ cos ⁡ π x 2 = 0  

Como o cosseno é um função periódica, temos que pensar nos valores que zeram ele. Assim, tendo n como um número inteiro, vamos ter:

π x 2 = π 2 + 2 n π → x = 1 + 4 n

Ou

π x 2 = 3 π 2 + 2 n π → x = 3 + 4 n

Então esses são os candidatos a máximo ou mínimo da função. Repare que o número 4 ali indica apenas a periodicidade da função, então podemos usar x = 1 e x = 3 para avaliar os máximos e mínimos no passo seguinte, porque isso vai se repetindo a cada período da função.

Passo 3

Agora derivando f ' ( x ) novamente, encontramos a segunda derivada:

f ' ' x = - π 2 4 sin ⁡ π x 2

Substituindo x = 1 em f ' ' ( x ) , temos:

f ' ' 1 = - π 2 4 sin ⁡ π ∙ 1 2 = - π 2 4 ∙ 1 = - π 2 4

Agora substituindo x = 3 em f ' ' ( x ) :

f ' ' 3 = - π 2 4 sin ⁡ π ∙ 3 2 = - π 2 4 ∙ - 1 = π 2 4

Então, para x = 1 + 4 n temos f ' ' < 0 esses se constituem pontos máximos da função. E para x = 3 + 4 n , temos f ' ' x > 0 e eles serão pontos mínimos da função, pelo teste da segunda derivada. Substituindo em f ( x ) :

f 1 = sin ⁡ π 2 ∙ 1 = 1

f 3 = sin ⁡ π 2 ∙ 3 = sin ⁡ 3 π 2 = - 1

E temos:

M í n i m o s → 3 + 4 n ,   - 1 + 4 n

M á x i m o s → ( 1 + 4 n ,   1 + 4 n )

Onde n ∈ Z .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M í n i m o s → 3 + 4 n ,   - 1 + 4 n

M á x i m o s → ( 1 + 4 n ,   1 + 4 n )

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