Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:

(c) f x = x 2 x - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função cresce e/ou decresce.

Pra isso, vamos precisar fazer o famoso teste de crescimento e decrescimento, que basicamente consiste em verificar o sinal da derivada da função.

Isso porque se f ' x > 0 , em um intervalo a ,   b , então a função f é crescente nesse intervalo. E se f ' x < 0 , em um intervalo ( a ,   b ) , então a função f é decrescente nesse intervalo.

Então, vamos derivar a nossa função e fazer o estudo de sinal dela para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 2 x - 1

Derivando ela em relação a x , usando a regra do quociente, vamos obter:

f ' x = x ( x - 2 ) x - 1 2

Agora vamos fazer o estudo de sinal de f ' ( x ) para verificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

Passo 3

Se olharmos os termos do quociente, vamos ver que dependendo do valor de x , a derivada será positiva (ou seja, maior que zero) ou negativa (menor que zero). Então, para montar o quadro de sinais, a gente começa achando os pontos em que cada termo será igual a zero, em outras palavras, vamos achar as raízes da equação. Fazendo:

x ( x - 2 ) x - 1 2 = 0

Temos:

x x - 2 = 0

→ x = 0   e   x = 2

E

x - 1 2 = 0 → x - 1 = 0 → x = 1

Agora vamos finalmente para o quadro de sinais. Vamos colocar em cima da tabela, em ordem crescente, todas as raízes dos termos e na primeira coluna colocamos os termos da derivada, a própria f ' ( x ) original e a nossa função f ( x ) .

Então vamos preencher a tabela analisando os intervalos onde cada termo é negativo ou positivo, na primeira, na segunda e na terceira linha. Na linha da derivada, a gente preenche fazendo a multiplicação dos sinais de cada termo.

As setinhas para cima indicam onde a derivada é positiva e consequentemente, os intervalos de crescimento da função. Assim como as setinhas para baixo, indicam onde a função decresce. Representanto esses intervalos, vamos ter:

C r e s c i m e n t o → 0 ,   1 ∪ 2 ,   + ∞

D e c r e s c i m e n t o → - ∞ , 0 ∪ 1 ,   2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C r e s c i m e n t o → 0 ,   1 ∪ 2 ,   + ∞

D e c r e s c i m e n t o → - ∞ , 0 ∪ 1 ,   2

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função h p = p - 1 p 2 + 4