Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:

(d) f x = ln ⁡ ( x 2 + 1 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função cresce e/ou decresce.

Pra isso, vamos precisar fazer o famoso teste de crescimento e decrescimento, que basicamente consiste em verificar o sinal da derivada da função.

Isso porque se f ' x > 0 , em um intervalo a ,   b , então a função f é crescente nesse intervalo. E se f ' x < 0 , em um intervalo ( a ,   b ) , então a função f é decrescente nesse intervalo.

Então, vamos derivar a nossa função e fazer o estudo de sinal dela para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = ln ⁡ ( x 2 + 1 )

Derivando ela em relação a x , usando a regra da cadeia, vamos obter:

f ' x = 1 x 2 + 1 ∙ d d x ( x 2 + 1 )

f ' x = 2 x x 2 + 1

Agora vamos fazer o estudo de sinal de f ' ( x ) para verificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

Passo 3

Se olharmos os termos do quociente, vamos ver que dependendo do valor de x , a derivada será positiva (ou seja, maior que zero) ou negativa (menor que zero). Então, para montar o quadro de sinais, a gente começa achando os pontos em que cada termo será igual a zero, em outras palavras, vamos achar as raízes da equação. Fazendo:

2 x x 2 + 1 = 0

Temos:

2 x = 0 → x = 0

Agora vamos finalmente para o quadro de sinais. Vamos colocar em cima da tabela, em ordem crescente, todas as raízes dos termos e na primeira coluna colocamos os termos da derivada, a própria f ' ( x ) original e a nossa função f ( x ) .

Então vamos preencher a tabela analisando os intervalos onde cada termo é negativo ou positivo, na primeira e na segunda linha. Na linha da derivada, a gente preenche fazendo a multiplicação dos sinais de cada termo.

As setinhas para cima indicam onde a derivada é positiva e consequentemente, os intervalos de crescimento da função. Assim como as setinhas para baixo, indicam onde a função decresce. Representanto esses intervalos, vamos ter:

C r e s c i m e n t o → 0 ,   + ∞

D e c r e s c i m e n t o → - ∞ , 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C r e s c i m e n t o → 0 ,   + ∞

D e c r e s c i m e n t o → - ∞ , 0

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