Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:

(e) f x = sin ⁡ x + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função cresce e/ou decresce.

Pra isso, vamos precisar fazer o famoso teste de crescimento e decrescimento, que basicamente consiste em verificar o sinal da derivada da função.

Isso porque se f ' x > 0 , em um intervalo a ,   b , então a função f é crescente nesse intervalo. E se f ' x < 0 , em um intervalo ( a ,   b ) , então a função f é decrescente nesse intervalo.

Então, vamos derivar a nossa função e fazer o estudo de sinal dela para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = sin ⁡ x + 1

Derivando ela em relação a x , vamos obter:

f ' x = cos ⁡ x

Agora vamos fazer o estudo de sinal de f ' ( x ) para verificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

Passo 3

Vamos verificar os intervalos de crescimento da função, verificando onde a função cosseno é positiva, ou seja:

cos ⁡ x > 0

Como essa é uma função periódica, os intervalos onde a função cosseno é positiva ocorrem em:

- π 2 + 2 k π < x < π 2 + 2 k π

E a função vai ser decrescente quando a nossa derivada for negativa, ou seja:

cos ⁡ x < 0

Isso ocorre em:

π 2 + 2 k π < x < 3 π 2 + 2 k π

Onde k é um número inteiro.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C r e s c i m e n t o → - π 2 + 2 k π < x < π 2 + 2 k π

D e c r e s c i m e n t o → π 2 + 2 k π < x < 3 π 2 + 2 k π

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