Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:

(f) f x = x ln ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função cresce e/ou decresce.

Pra isso, vamos precisar fazer o famoso teste de crescimento e decrescimento, que basicamente consiste em verificar o sinal da derivada da função.

Isso porque se f ' x > 0 , em um intervalo a ,   b , então a função f é crescente nesse intervalo. E se f ' x < 0 , em um intervalo ( a ,   b ) , então a função f é decrescente nesse intervalo.

Então, vamos derivar a nossa função e fazer o estudo de sinal dela para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x ln ⁡ x

Derivando ela em relação a x , usando a regra do produto, vamos obter:

f ' x = 1 ∙ ln ⁡ x + 1 x ∙ x

f ' x = ln ⁡ x + 1

Agora vamos analisar o sinal de f ' ( x ) para verificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

Passo 3

Nossa função será crescente quando a nossa derivada for positiva, então teremos:

ln ⁡ x + 1 > 0

→ ln ⁡ x > - 1

Usando as propriedades do logaritmo, temos:

x > e - 1 →   x > 1 e

E a nossa função vai ser decrescente quando a nossa derivada for negativa, ou seja:

ln ⁡ x + 1 < 0 → ln ⁡ x < - 1

→ x < 1 e

Mas como a função exponencial é sempre positiva, temos:

x > 0

Portanto, nossos intervalos são:

C r e s c i m e n t o → 1 e ,   + ∞

D e c r e s c i m e n t o → 0 , 1 e

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C r e s c i m e n t o → 1 e ,   + ∞

D e c r e s c i m e n t o → 0 , 1 e

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