Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Em cada um dos casos abaixo, verifique a existência de lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ f ( x ,   y ) :

a) f x ,   y = x sin ⁡ 1 y ,     y ≠ 0 0 ,     y = 0 ,   x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se o limite da função f ( x ,   y ) , definida por partes, existe. Como nossa indeterminação acontece justamente no ponto x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   0 ) , que é para o qual o limite deve ser calculado, vamos verificar a primeira parte da função, ou seja:

lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ x sin ⁡ 1 y

Pra resolver esse limite, vamos converter para coordenadas polares usando:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Assim, tendo tudo na mesma variável, vamos usar o Teorema do confronto para calcular o limite na forma:

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ

Vamos lá!

Passo 2

Como o limite depende apenas de r , vamos começar dando uma arrumada no limite, colocando o termo constante para fora, no caso o cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ

Agora vamos pensar no seguinte, a função seno é uma função limita entre - 1 e 1 para qualquer argumento que ela tenha. Então, temos:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ ≤ 1

Se a gente escrever essa função em módulo, vamos ter:

0 ≤ sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ ≤ 1

Multiplicando todos os termos pelo módulo de r :

r ∙ 0 ≤ r ∙ sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ ≤ r ∙ 1

0 ≤ r sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ ≤ r

Assim, aplicando o limite de quando r tende a zero, vamos ter:

lim r → 0 ⁡ 0 ≤ l i m r → 0 r sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ ≤ l i m r → 0 r

A gente sabe que o limite da constante é a própria constante, então lim r → 0 ⁡ 0 = 0 . E como a função modular de r é contínua, também temos l i m r → 0 r = 0 .

0 ≤ l i m r → 0 r sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ ≤ 0

Sendo assim, pelo Teorema do confronto, vamos obter:

l i m r → 0 r sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ = 0

E pra que isso seja verdade:

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ = 0

Multiplicando pelo cosseno de θ :

cos ⁡ θ lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ 1 r sin ⁡ θ = cos ⁡ θ ∙ 0 = 0

Portanto, o limite existe e

lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ f ( x ,   y ) = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ f ( x ,   y ) = 0

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