Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (Justifique!)

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 t g ( x ) x 2 + y 2  

Passo 1

Fala aí, gente!!! Então, a gente sabe que antes da gente fazer qualquer “mágica” matemática em questões de limite, o ideal, é testarmos os valores limites pra ver se vai dar algum problema ou não. Então, vamos seguir exatamente esse raciocínio: Vamos testar os limites. Se der certo, show! Se não der certo de primeira, vamos fazer uma algebrismo matemático que te explico no caminho!!

Passo 2

Substituindo os valores, temos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 t g ( x ) x 2 + y 2 = 0 0 = I N D E T E R M I N A Ç Ã O

Opa, vamos ter que aplicar nosso algebrismo matemático. Como fazemos isso? Vamos escolher duas retas para chegar no ponto ( 0,0 ) .

Vamos usar por exemplo y = x e y = 2 x e aplicar os limites. Se os limites forem diferentes, esse limite não existe.

Parece confuso, mas vem comigo!

Passo 3

Vamos fazer primeiro y = x

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 t g ( x ) 2 x 2 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ t g ( x ) 2 = 0

Passo 4

Agora vamos fazer y = 2 x

l i m x , y → 0,0 x 2 t g ( x ) 5 x 2   = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ t g ( x ) 5 = 0

Logo, o limite existe, pois para duas retas diferentes usadas, tivemos o mesmo valor de limite.

Resposta

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 t g ( x ) x 2 + y 2 = 0

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ ( 5 x 3 - x 2 y 2 )
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2