Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Mostre que o limite abaixo não existe

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 8 x y 2 y 4 + x 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou facilitar para você!

O problema nos deu um limite

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 8 x y 2 y 4 + x 2

E pediu para mostrar que esse limite não existe!

Bom, para início de conversa, o que é mesmo o limite não existir?

Quando estamos falando de funções de uma variável, o limite existe quando o valor dos limites bilaterais, é igual ao limite no ponto, assim:

lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → x 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f ( x )

Se forem diferentes, então dizemos que o limite não existe.

Mas e quando falamos de funções de várias variáveis? Como que fazemos esse “sanduíche” de limite?

Quando falamos em funções de várias variáveis, para o limite existir, precisamos encontrar o mesmo valor por caminhos diferentes

Quando a função só tem uma variável, só temos que avaliar o limite pela direita ou pela esquerda, no entorno do ponto, pois estamos falando de uma curva, e ela tem só um caminho a seguir.

Mas quando a função é de várias variáveis, para o limite existir, ele tem que assumir o mesmo valor vindo de qualquer caminho, pois estamos falando de uma superfície!

Mas e quando esse limite não existe?

Aí que tá! Quando encontramos uma indeterminação! Quando for assim, é interessante avaliar se esse limite não existe, porque se for verdade, isso vai nos poupar tempo! Não vamos quebrar a cabeça tentando resolver por várias técnicas diferentes, já que esse limite não existe né?! Sacou?

m ’, se o limite depender dessa constante, então quer dizer que mudando o valor dela, mudamos o valor do limite

E essa é a única coisa que basta para o limite não existir: valores diferentes para o mesmo limite

Tranquilo?

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

O limite que precisamos mostrar que não existe é:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 8 x y 2 y 4 + x 2

Vamos substituir x = y = 0 e verificar que tenhamos uma indeterminação:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 8 x y 2 y 4 + x 2 = 8.0 . 0 2 0 4 + 0 2 = 0 0

Pronto! Achamos uma indeterminação!

Agora vamos à escolha dos caminhos!

Passo 3

A escolha do caminho precisa ser conveniente! Vamos analisar nossa função:

8 x y 2 y 4 + x 2

Temos uma potência de y 2 em cima multiplicando um x , e embaixo temos um y 4 somado com x 2 . Se escolhermos um caminho simples, como por exemplo

y = m x

Vamos ter potências diferentes no denominador e não vamos conseguir simplificar nada, saca só:

8 x m x 2 m x 4 + m x 2 = 8 m 2 x 3 m 4 x 4 + m 2 x 2

Ficou complicado né? Se avaliarmos esse limite para x → 0 (que é o ponto que queremos) vamos ter uma indeterminação novamente...

mas calma! Eu falei que a escolha do caminho precisa ser conveniente

Nesse caso, um caminho conveniente seria aquele que desse para somar os denominadores, assim poderemos simplificar com o numerador. Então vamos olhar com mais carinho o denominador:

y 4 + x 2

São duas potências diferentes, e sabemos que a soma de potências é feita quando os termos são semelhantes (ou seja, com mesma parte literal, expoente, tudo)

Então seria conveniente chamar x = m y 2

Pois quando elevarmos ao quadrado (pois é isso que temos no denominador, um x 2 ) teremos

x 2 = m 2 y 4

Um y 4 !

y 4 ! E como vamos fazer a mesma substituição em cima, vai ficar tranquilo simplificar com o numerador só em y !

Beleza?

Então é isso que vamos fazer: substituir x pelo caminho x = m y 2 na função que queremos calcular o limite!

Voltando com o limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 8 x y 2 y 4 + x 2 = lim x , y → ( m y 2 , 0 ) ⁡ 8 m y 2 y 2 y 4 + m y 2 2

Notem que y segue indo para zero, na dele. Quem está ‘mudando’ o caminho é o x !

lim x , y → ( m y 2 , 0 ) ⁡ 8 m y 4 y 4 + m 2 y 4

E olha lá o y sendo simplificado em cima e embaixo:

lim x , y → ( m y 2 , 0 ) ⁡ 8 m y 4 y 4 ( 1 + m 2 ) = lim x , y → ( m y 2 , 0 ) ⁡ 8 m 1 + m 2

E agora, podemos calcular esse limite? A resposta é sim! Já que ele não depende de x nem de y mais, o limite é aquela expressão em m mesmo:

lim x , y → ( m y 2 , 0 ) ⁡ 8 m 1 + m 2 = 8 m 1 + m 2

Sendo assim, para cada escolha de m , o valor do limite da expressão

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 8 x y 2 y 4 + x 2

Vai ser diferente!

Por exemplo, escolhendo m = 1 , ou seja, indo pelo caminho x = y 2 :

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 8 x y 2 y 4 + x 2 = 8.1 1 + 1 2 = 4

E escolhendo m = 2 , indo pelo caminho x = 2 y 2 , o valor do limite é:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 8 x y 2 y 4 + x 2 = 8 . 2 1 + 2 2 = 16 5

Um valor completamente diferente!

É como se os limites bilaterais fossem diferentes, saca?

Então mostramos que o limite não existe.

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Bora para próxima?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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