Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Mostre que o valor de x 3 y 2 x 6 + y 2 tende a 0 quando ( x , y ) tende a ( 0,0 ) ao longo de qualquer reta y = m x , ou ao longo de qualquer parábola y = k x 2 .

Passo 1

Bem, aplicando o limite diretamente na função dada, vemos que teremos uma indeterminação, logo, precisaremos aplicar aquele nosso raciocínio, aproximar do ponto ( 0,0 ) por duas retas distintas. Se com isso tivermos limites iguais, temos o limite definido.

Passo 2

Vamos aproximar por y = m x

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 y 2 x 6 + y 2 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ m x 4 2 x 6 + m 2 x 2

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ m x 4 x 4 2 x 2 + m 2 x 2 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ m 2 x 2 + m 2 x 2 = 0

Passo 3

Vamos agora fazer y = k x 2

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 y 2 x 6 + y 2 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ k x 5 2 x 6 + k 2 x 4

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ k x 5 x 5 2 x + k 2 x 2 = 0

Logo, esse limite também deu zero!!

Resposta

Explicação

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y + y z x 2 + y 2 + z 2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → π , θ , 1 ⁡ e y 2 t g ( x z )
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,0 ) ⁡ x y - y x - 1 2 + y 2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ ( 5 x 3 - x 2 y 2 )
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2