Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Mostre que

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 10 x - y 5

Não existe.

Passo 1

Como ele pede pra provar que esse limite não existe, vamos tentar calculá-lo por curvas diferentes.

Beleza, mas nesse caso, não parece imediato escolher duas curvas que nos darão resultados de limites diferentes.

Por isso, vamos tentar calcular esse limites por duas curvas de nível de f diferentes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As curvas de nível de f são

f x , y = x 2 + y 10 x - y 5 = c   ⇒   x 2 + y 10 = c x - c y 5

Observe que qualquer que seja o nível c , a curva de nível passa pela origem, pois o ponto ( 0,0 ) satisfaz e equação da curva de nível.

Ok, então vamos definir agora duas curvas: γ 1 ( t ) associada ao nível c 1 e γ 2 ( t ) associada ao nível c 2 , de tal forma que

γ 1 t 0 = γ 2 t 0 = ( 0,0 )

Assim, temos

f γ 1 = c 1

f γ 2 = c 2

Passo 3

-

Assim, se calcularmos o limite de f pela curva γ 1 , temos:

lim t → 0 ⁡ f ( γ 1 ) = c 1

E se calcularmos o limite de f pela curva γ 2 , temos:

lim t → 0 ⁡ f γ 2 = c 2

Assim, como c 1 ≠ c 2 , pois são dois níveis diferentes de curva de nível, concluímos que esse limite não existe.

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