Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Responda os itens a seguir.

Mostre que

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y x 6 + y 2

não existe (Não usar coordenadas polares).

Passo 1

Cara, a primeira coisa quando a gente vê esse tipo de questão é se perguntar: eu consigo fazer algum caminho x = m y , ou x = m y 2 e assim vai, ou y = m x , ou y = m x 2 e assim vai; de modo que o grau do polinômio de cima fique o mesmo ou menor do que o polinômio de baixo?

A resposta para o nosso é sim! Como assim? Isso acontece quando usamos

y = m x 3

Não acredita? Vem ver!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nosso limite fica assim:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y x 6 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 3 m x 3 x 6 + m x 3 2 = lim x → 0 ⁡ m x 6 x 6 + m 2 x 6 =

= lim x → 0 ⁡ x 6 x 6   m 1 + m 2 = lim x → 0 ⁡   m 1 + m 2 = m 1 + m 2

Aí a gente consegue provar que nosso limite depende do valor de m , isso quer dizer que ele depende do caminho escolhido, por isso a gente diz que ele não existe!

Obs: Repara que essa mudança fez os graus dos polinômios de cima e de baixo ficarem iguais. Aí a gente pode colocar a variável em evidência e provar que o limite não existe. Esse é o segredo!

Resposta

Prova nos passos

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