Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Considere a função de duas variáveis:

f = f x , y = y - x 2 y - 4

1. Qual domínio dessa função? Descreva-o algebricamente e também faça um esboço.

2. Calcule, se existir, o limite abaixo. Caso nã exista, justifique.

lim x , y → 2,4 ⁡ f x , y

Passo 1

Para analizarmos o domínio valor lembrar que não podemos ter raíz de npumero negativo e nem divisão por zero, certo?

Então teremos:

y - x 2 ≥ 0 → y ≥ x 2

y - 4 ≠ 0 → y ≠ 4

O domínio também vai ser bem simples:

Eu tenho que nosso y deve ser diferente de 4, por essa razão temos aquela linha pontilhada ali...ou seja, não entra nada dela ali no domínio, e temos ainda que o y deve ser maior ou igual à x 2 , ou seja, tudo acima e em cima da árábula, já que são valores maiores (acima) e iguais (na parábula) a x 2 .

Escrevendo o domínio matematicamente temos:

{ x , y ∈ R 2 | y ≥ x 2 ,   y ≠ 4 }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular esse limite, fazemos primeiro o limite em cima da parábula, ou seja, quando y = x 2

lim ⁡ x 2 - x 2 x 2 - 4 = 0 x 2 - 4 = 0

Observando agora o limite ao longo da semi reta x = 2 (para y > 4 ) temos:

lim ⁡ y - 2 2 y - 4 = lim ⁡ y - 4 y - 4 = lim ⁡ 1 y - 4

Como nosso y está indo pra 4 temos:

lim ⁡ 1 4 - 4 = 1 0 + = + ∞

Observa como os resultados estão distuando. Isso significa então que esse limite não existe. Caso obtivéssemos valores iguais, teríamos então um resultado para esse limite, como não aconteceu, o limite não existe.

Resposta

a )   { x , y ∈ R 2 | y ≥ x 2 ,   y ≠ 4 }

b )   o   l i m i t e   n ã o   e x i s t e  

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas