Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2015.2, questão 2b

Calcule, se existir, o limite

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x y 2 x 2 + y 4

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos substituir o ponto ( 0,0 ) :

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 . 0 . 0 2 0 2 + 0 4 = 0 0

Vamos agora arrumar um jeito de sair dessa indeterminação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Olhando para a expressão do limite, vemos que o grau do numerador (3) é menor que o grau o denominador (6) e isso é um forte indicio de que esse limite não existe.

Assim, vamos tentar calcular por caminhos para ver se ele de fato não existe.

Começando pelo caminho ( 0 , t ) :

lim 0 , t → 0,0 ⁡ 2 . 0 . t 2 0 2 + t 4 = 0

Passo 3

Agora pelo caminho ( t ² , t ) :

lim t , t → 0,0 ⁡ 2 . t ² . t 2 ( t ² ) 2 + t 4 = 2 t 4 2 t 4 = 2 2 = 1

Assim, por dois caminhos diferentes, tivemos resultados diferentes para o limite, de modo que esse limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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