Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine se o limite existe, se não existir, justifique!

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y x 2 + y 2

Passo 1

De cara já podemos ver que nossa função que está sendo analisando não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x , para isso faremos y = 0 :

f x , 0 = 0 . y y 2 = 0

Analogamente, f 0 , y = 0

f 0 , x = x . 0 x 2 = 0

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo da reta x = y :

f x , x = x . x x 2 + x 2 = x 2 2 x 2 = x 2 | x | 2

Calculando o limite,

lim x → 0 ⁡ x 2 | x | 2 = 0

Se aproximarmos f ( x , y ) do ponto ( 0,0 ) ao longo da parábola y = x 2 teremos:

f x , x 2 = x . x 2 x 2 + x 4 = x 6 x 2 + x 4 = x 4 1 + x 2

Calculando o limite,

lim x → 0 ⁡ x 4 1 + x 2 = 0

Logo, há uma forte suspeita de que x y x 2 + y 2 = 0   .

Passo 3

Vamos verificar se x y x 2 + y 2 = 0  

Sabemos que x 2 ≤ x ≤ x 2 + y 2

Logo, | x | x 2 + y 2 ≤ 1

Como y ≥ 0 , podemos multiplicar | y | nos dois lados:

x . | y | x 2 + y 2 ≤ y ≤ y 2 ≤ x 2 + y 2

Logo, L = x y x 2 + y 2   = 0 .

Resposta

0

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