Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Para cada um dos itens a seguir, mostre se o limite existe ou não. Determine o limite caso exista e justifique suas respostas.

lim x , y → 0,0 ⁡ y 2 s e n 2 ( x ) x 4 + y 4

Passo 1

Percebemos de cara que isso vai dar uma indeterminação 0 / 0 . O que fazer então?

Vamos tentar alguns caminhos para ver se esse limite muda de valor quando a gente muda de caminho.

Podemos começar pelo caminho y = x , aí substituindo isso no nosso limite

x , y → 0,0 ∴ y = x → 0

lim x → 0 ⁡ x 2 s e n 2 x x 4 + x 4 = lim x → 0 ⁡ x 2 s e n 2 x x 2 x 2 + x 2 = lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x 2 + x 2 = lim x → 0 ⁡ s e n 2 x 2 x 2 =

lim x → 0 ⁡ 1 2 s e n x x 2

Temos o limite fundamental trigonométrico que diz

x → 0 ∴ s e n x x = 1

Aí esse limite fica

lim x → 0 ⁡ 1 2 s e n x x 2 = 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos tentar outro caminho! Podemos ir de y = 0 ,   x ≠ 0 . Nosso limite fica

lim x → 0 ⁡ y 2 s e n 2 ( x ) x 4 + y 4 = lim x → 0 ⁡ 0 ⋅ s e n 2 x x 4 + 0 = lim x → 0 ⁡ 0 x 4 = lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Aí a gente consegue provar que nosso limite não existe. Por que?

Porque por caminhos diferentes, ele deu valores diferentes.

O bizu dessa questão é testar diferentes caminhos que você suspeita que vai dar resultados diferentes. Beleza?

Arrasamos!

Resposta

Não existe

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