Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Para cada um dos itens a seguir, mostre se o limite existe ou não. Determine o limite caso exista e justifique suas respostas.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 3

Passo 1

Percebemos de cara que isso vai dar uma indeterminação 0 / 0 . O que fazer então?

Cara, a primeira coisa quando a gente vê esse tipo de questão é se perguntar: eu consigo fazer algum caminho x = m y , ou x = m y 2 e assim vai ou y = m x , ou y = m x 2 e assim vai; de modo que o grau do polinômio de cima fique o mesmo ou menor do que o polinômio de baixo?

A resposta para o nosso é sim! Como assim? Repara que se a gente fizer o caminho:

y = m x

Nosso limite fica assim:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 3 = lim x → 0 ⁡ x 3 x 2 + m 2 x 2 3 = lim x → 0 ⁡ x 3 1 + m 2 x 2 3

= lim x → 0 ⁡ x 3 x 1 + m 2 3 = lim x → 0 ⁡   x 3 x 3 1 + m 2 3 = lim x → 0 ⁡   1 1 + m 2 3 = 1 1 + m 2 3

Aí a gente consegue provar que nosso limite depende do valor de m , isso quer dizer que ele depende do caminho escolhido, por isso a gente diz que ele não existe!

Repara que essa mudança fez os graus dos polinômios de cima e de baixo ficarem iguais. Aí a gente pode colocar a variável em evidência e provar que o limite não existe.

Arrasamos!

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Resposta

Não existe

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