Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Vamos começar, tentando substituir o ponto ( 0,0 ) :

lim x , y , z → ( 0,0 , 0 ) ⁡ x 3 + y + z 2 x 4 + y 2 + z 3 = lim x , y , z → ( 0,0 , 0 ) ⁡ 0 3 + 0 + 0 2 0 4 + 0 2 + 0 3 = 0 0

Ops, deu indeterminação 0 0 .

O próximo passo agora é então tentar sair desse negócio pra ver se a gente consegue ou não calcular esse limite.

Passo 2

Aqui temos o grau do numerador ( 3 ) menor que o grau do denominador ( 4 ) . Além disso, temos x , y e z com expoentes diferentes, somados, tanto no numerador quanto no denominador.

Tudo isso são bons indicios de que o limite não existe.

Vamos tentar provar isso então, calculando por caminhos diferentes.

Primeiro vamos tentar o caminho mais intuitivo de todos x = y = z :

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x 3 + x + x 2 x 4 + x 2 + x 3 = lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x ( x 2 + 1 + x ) x 2 x 2 + 1 + x

Cortando tudo, ficamos com

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 1 x

Quando o x → 0 , esse limite aí vai pro infinito.

Então, nosso limite não existe e dessa vez nem precisamos tentar calcular por mais de um caminho.

Resposta

∄   L

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y + y z x 2 + y 2 + z 2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → π , θ , 1 ⁡ e y 2 t g ( x z )
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,0 ) ⁡ x y - y x - 1 2 + y 2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ ( 5 x 3 - x 2 y 2 )
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2