Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

6- Existe lim x , y → 0,0 ⁡ s e n 2 x - 2 x + y x 3 + y ? Justifique sua resposta!

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa questão é muuuito comum em provas e listas de cálculo e não é pra menos, vamos usar esses conceitos para a vida toda.

Por isso é muito importante estudar bem este conteúdo até ficar craque! E se depender de nós, sua nota 10 vai vim com força!

Para essa questão, temos um limite para calcular e temos que justificar se o limite existe ou se o limite não existe.

O limite de uma função existe quando f tende a um ponto por todas as direções, ou seja, quanto mais nos aproximamos do ponto x , y mais a função f se aproxima de um valor específico.

O limite de uma função não vai existir quando houver uma divergência, ou seja, quando nos aproximamos de x , y por uma direção, o resultado é diferente de uma outra aproximação por uma direção diferente.

No caso, nossa função f é

f x , y = s e n 2 x - 2 x + y x 3 + y

E o ponto que vamos aproximar f é 0,0 .

Bora calcular esse limite então.

Passo 2

Para determinar as direções que vamos nos aproximar do ponto, vão ser retas que devem passar pelo ponto que queremos.

Quanto mais retas usarmos na aproximação, mais consistência podemos ter em casos de existência do limite.

Aproximando pela reta x = 0 , vamos substituir x por 0 no nosso limite

lim 0 , y → 0,0 ⁡ s e n 0 - 2 · 0 + y 0 3 + y

lim 0 , y → 0,0 ⁡ y y

Cortando y do denominador com o numerador, temos

l i m 0 , y → 0,0 f 0 , y = 1

Aproximando pela curva y = 2 x e fazendo o mesmo procedimento, temos

lim x , 2 x → 0,0 ⁡ s e n 2 x - 2 x + 2 x x 3 + 2 x

lim x , 2 x → 0,0 ⁡ s e n 2 x x 3 + 2 x

Se substituirmos x por 0 agora, ainda teremos uma indeterminação, então como temos apenas uma variável, podemos aplicar o método de L’Hopital.

Este método consiste em derivar o numerador e o denominador até nos livrarmos da indeterminação, veja só.

lim x , 2 x → 0,0 ⁡ d s e n 2 x d x d x 3 + 2 x d x

Pela regra da cadeia

d s e n 2 x d x = 2 cos ⁡ 2 x

Por derivação de polinômios

d x 3 + 2 x d x = 3 x 2 + 2

lim x , 2 x → 0,0 ⁡ 2 cos ⁡ 2 x 3 x 2 + 2

Agora sim, substituindo x por 0 , temos

lim x , 2 x → 0,0 ⁡ 2 cos ⁡ 0 3 0 2 + 2

lim x , 2 x → 0,0 ⁡ 2 2 = 1

Mas peraí, ainda é o mesmo valor que encontramos anteriormente, então vamos ver se com mais curvas, o valor persiste.

Passo 3

Para a reta y = 0 , substituindo y por 0 no limite, temos

lim x , 0 → 0,0 ⁡ s e n 2 x - 2 x + 0 x 3 + 0

lim x , 0 → 0,0 ⁡ s e n 2 x - 2 x x 3

Aplicando o método de L’Hopital novamente

lim x , 0 → 0,0 ⁡ d s e n 2 x - 2 x d x d x 3 d x

Derivando os polinômios, temos

d s e n 2 x - 2 x d x = 2 cos ⁡ 2 x - 2

d x 3 d x = 3 x ²

Voltando para o limite

lim x , 0 → 0,0 ⁡ 2 cos ⁡ 2 x - 2 3 x 2

Ainda não podemos substituir x por 0 pois ainda temos uma indeterminação, então vamos aplicar L’Hopital novamente

lim x , 0 → 0,0 ⁡ d 2 cos ⁡ 2 x - 2 d x d 3 x 2 d x

Derivando os polinômios

d 2 cos ⁡ 2 x - 2 d x = - 4 s e n 2 x

d 3 x 2 d x = 6 x

Voltando para o limite

lim x , 0 → 0,0 ⁡ - 4 s e n 2 x 6 x

Vamos aplicar o método de L’Hopital mais uma vez, pois nossa indeterminação ainda não foi embora.

lim x , 0 → 0,0 ⁡ d - 4 s e n 2 x d x d 6 x d x

Derivando os polinômios

d - 4 s e n 2 x d x = - 8 cos ⁡ 2 x

d 6 x d x = 6

Voltando ao limite

lim x , 0 → 0,0 ⁡ - 8 cos ⁡ 2 x 6

Finalmente podemos substitui x por 0 , pois nossa indeterminação sumiu

lim x , 0 → 0,0 ⁡ - 8 cos ⁡ 0 6 = - 8 6 = - 4 3

Passo 4

Bingo!! Encontramos dois valores distintos para duas aproximações diferentes que fizemos

Por x = 0 , encontramos

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n 2 x - 2 x + y x 3 + y = 1

Já para y = 0 , encontramos

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n 2 x - 2 x + y x 3 + y = - 4 3

x = 0 e y = 0 são duas retas que passam por 0,0 , então essa divergência de valores prova que o limite de f x , y não existe.

Em outras palavras, quando nos aproximamos do ponto 0,0 pela direção da reta x = 0 , f tende a 1 . Já quando nos aproximamos de 0,0 pela direção da reta y = 0 , vemos que f tende a - 4 3 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

O limite não existe pois os limites laterais divergem.

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