Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Limites e Continuidade, Funções de Várias Variáveis

Calcule ou mostre que o limite l i m x , y → 0,0 e x 2 y - 1 y 3   ⁡ não existe.

Passo 1

Bom, essa aí não parece ter nada de muito particular... sem seno, sem cosseno, sem variável pra ensanduichar... Aí não temos nada a perder tentando caminhos aleatórios!

Não é boa ideia tentar caminhos por onde y = 0 de cara, porque ele está sozinho no denominador... Então, podemos tentar o caminho x , y = 0 , y , em que x = 0 :

l i m x , y → 0,0 e 0 2 y - 1 y 3 =

l i m x , y → 0,0 1 - 1 y 3 = 0

Opa! O limite deu 0 :D Antes encontrar algum valor do perder tempo com um caminho escolhido errado XD

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Passo 2

Agora, devemos escolher outro caminho. Dessa vez, vamos escolher o caminho x = y , ficando x , y = x , x :

l i m x → 0 e x 3 - 1 x 3

Se nós fizermos a substituição de x na nossa função, nós vamos encontrar um valor de 0 0 , ou seja, uma indeterminação.

E ai, o que podemos fazer? Nós podemos recorrer a nossa regrinha do L’Hospital! Vamos la

l i m x → 0 e x 3 - 1 x 3 =   l i m x → 0 e x 3 . 3 x ² 3 x ² =   l i m x → 0 e x 3 = 1

Opa, olha só, usando a regra do L’Hospital , nós descobrimos que indo pelo caminho x = y , o nosso limite deu 1.

Show, vamos agora juntar tudo isso que encontramos para finalizar a nossa questão

Passo 3

Pelo caminho x = 0 :

l i m x , y → 0,0 e x 2 y - 1 y 3 = 0

Pelo caminho x = y

l i m x , y → 0,0 e x 2 y - 1 y 3 = 1

Ou seja, os limites deram diferentes! E o que isso significa? Quando calculamos os limites de uma função com duas ou mais variáveis por caminhos diferentes e esses limites dão resultados diferentes, o limite daquela função naquele ponto não existe!

Resposta

O limite não existe!

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