Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Em cada um dos casos abaixo, verifique a existência de lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ f ( x ,   y ) :

b) f x ,   y = x 2 y - 1 2 x 4 + y - 1 4 ,   x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   1 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se o limite da função f ( x ,   y ) existe quando x 0 ,   y 0 tende a ( 0 ,   1 ) . Substituindo x = 0 e y = 1 na função, a gente ver que isso dá uma indeterminação. Então, vamos testar o limite por um caminho genérico y = m x . Isso porque um limite existe apenas se não depender do caminho e ao variar o valor de m , estamos variando o caminho.

Sendo assim, fazendo y = m x , vamos calcular:

lim x ,  y → ( 0 ,   1 ) ⁡ x 2 y - 1 2 x 4 + y - 1 4 = lim x → 0 ⁡ x 2 m x - 1 2 x 4 + m x - 1 4

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar abrindo os produtos notáveis da função:

lim x → 0 ⁡ x 2 m x - 1 2 x 4 + m x - 1 4 = lim x → 0 ⁡ x 2 ( m 2 x 2 - 2 m x + 1 ) x 4 + ( m 4 x 4 - 4 m 3 x 3 + 6 m 2 x 2 - 4 m x + 1 )

Aplicando a propriedade distributiva:

lim x → 0 ⁡ m 2 x 4 - 2 m x 3 + x 2 x 4 + m 4 x 4 - 4 m 3 x 3 + 6 m 2 x 2 - 4 m x + 1

Então, já fugimos da indeterminação, porque aplicando x → 0 , temos:

= 0 0 + 1 = 0

Como o valor do limite não depende do valor de m , podemos dizer que o limite existe e

lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ f ( x ,   y ) = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ f ( x ,   y ) = 0

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