Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere a função:

f x , y = x 2 - x y x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,   s e   x , y = ( 0,0 )

  1. Calcule o limite lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y ) ou mostre que esse limite não existe.
  2. Calcule o limite lim x , y → ( 1,1 ) ⁡ f ( x , y ) ou mostre que esse limite não existe.
  3. f é contínua em ( 0,0 ) ? Justifique.
  4. f é contínua em ( 1,1 ) ? Justifique.

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Seguinte... na letra (a) queremos calcular o limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

Se a gente simplesmente substituir x , y = ( 0,0 ) para em f ( x , y ) , vamos ter:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0 2 - 0 2 0 2 + 0 2 = 0 0

Puts, uma indeterminação matemática... Vamos ter que pensar em outro jeito de resolver.

Lembra que, pra um limite existir, é necessário que os limites em qualquer direção precisam ser iguais?

É a mesma ideia dos limites laterais de cálculo 1 , mas como agora a função é de duas variáveis temos várias direções possíveis pra ( x , y ) tender a um determinado valor.

Então, bora tentar duas direções diferentes pra ver se esses limites são iguais 😊

Considere as curvas γ 1 t = ( t , 0 ) e γ 2 t = ( t , t ) que se aproximam do ponto ( 0,0 ) quando t → 0 .

Assim, no caso em que γ 1 t = ( t , 0 ) , temos:

lim t → 0 ⁡ f γ 1 t = lim t → 0 ⁡ t 2 - t ∙ 0 t 2 + 0 2 = lim t → 0 ⁡ t 2 t = 1

E, no caso em que γ 2 t = ( t , t ) , temos:

lim t → 0 ⁡ f γ 2 t = lim t → 0 ⁡ t 2 - t ∙ t t 2 + t 2 = 0

Como os limites são diferentes, então o limite de f em ( 0,0 ) não existe.

Passo 2

Na letra (b), fazendo o limite lim x , y → ( 1,1 ) ⁡ f ( x , y ) , temos:

lim x , y → 1,1 ⁡ f x , y = lim x , y → 1,1 ⁡ x 2 - x y x 2 + y 2

= 1 2 - 1 ∙ 1 1 2 + 1 2 = 0

Prontinho! 😊

Passo 3

Agora vamos na analisar a continuidade da função. Mas, o que uma função de duas variáveis precisa para ser considerada contínua?

Bom, ela precisa obedecer que:

lim x , y → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f ( x , y ) = f ( x 0 ,   y 0 )

Na letra (c), devemos analisar se a função f é contínua em ( 0,0 ) .

Mas, como vimos no item a), o limite de f sequer existe para x , y → ( 0,0 ) . Logo, f não é contínua em ( 0,0 ) .

Passo 4

E, na letra (d), precisamos avaliar se f é contínua em ( 1,1 ) .

Como vimos na letra b),

lim x , y → 1,1 ⁡ f x , y = 0

Mas:

f 1,1 =   1 2 - 1 ∙ 1 1 2 + 1 2 = 0

Daí, como já era esperado podemos dizer que f é contínua em ( 1,1 ) .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. Não existe
  2. lim x , y → ( 1,1 ) ⁡ f ( x , y ) = 0
  3. f não é contínua em ( 0,0 )
  4. f é contínua em ( 1,1 )

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