Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.81 – EXEMPLO 3.10(modificado)

Seja

f x , y = x 2 - y 2 x 2 + y 2

Calcule

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = 0 2 - 0 2 0 2 + 0 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica. E além disso:

Grau do numerador: 2

Grau do denominador: 2

Então, suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 3

Vamos substituir y = m x e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 - ( m x ) 2 x 2 + ( m x ) 2

lim x → 0 ⁡ x 2 - ( m x ) 2 x 2 + ( m x ) 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 - m 2 ) x 2 ( 1 + m 2 )

lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 - m 2 ) x 2 ( 1 + m 2 ) = lim x → 0 ⁡ 1 - m 2 1 + m 2 = 1 - m 2 1 + m 2

Então, esse limite está dependendo do caminho. Repare que, para diferentes valores de m , os limites serão diferentes.

Logo, não existe limite!

Resposta

Não existe limite.

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