Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

7 - Mostre que lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ s e n x y x y = 1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Essa questão é muuuito comum em provas e listas de cálculo e não é pra menos, vamos usar esses conceitos para a vida toda.

Por isso é muito importante estudar bem este conteúdo até ficar craque! E se depender de nós, sua nota 10 vai vim com força!

O objetivo principal desse problema é mostrar que o limite de f tende a 1 no ponto 0,0 . No caso, f é dado como

f x , y = s e n x y x y

Afirmar isso é dizer que em todas as direções f tende a 1 , ou seja, quanto mais próximo de 0,0 mais próximo f fica de 1 .

Usando a substituição direta

lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ s e n 0 · 0 0 · 0 = 0 0

Caímos em uma indeterminação, então temos que contornar este problema de alguma forma.

Temos algumas formas de se calcular o limite em casos assim. Vamos para o próximo passo que te mostro um jeito muito bacana.

Passo 2

Vamos calcular o limite de f através dos limites laterais, aproximando pelo ponto que estamos estudando por curvas que passam por esse ponto.

Nestes casos, quanto mais curvas usarmos mais embasadas são nossas afirmações no caso de haver um limite.

As curvas que devemos escolher, devem passar pelo ponto que estamos estudando.

Este método consiste em substituir uma variável pela curva que queremos, por exemplo:

Nos aproximando por y = x , substituímos y por x no limite

lim ( x , x ) → 0,0 ⁡ s e n x x x x

lim ( x , x ) → 0,0 ⁡ s e n x 2 x 2

Ainda não podemos substituir, mas podemos aplicar L’Hopital.

Este poderosíssimo método consiste em derivar o numerador e o denominador, com o intuito de eliminar a indeterminação.

lim ( x , x ) → 0,0 ⁡ d s e n x 2 d x d x 2 d x

Pela regra da cadeia

d s e n x 2 d x = 2 x c o s x 2

Por derivada de polinômios

d x 2 d x = 2 x

Voltando ao limite, substituindo os resultados

lim ( x , x ) → 0,0 ⁡ 2 x c o s x 2 2 x

Podemos cortar 2 x de cima com o de baixo, restando

lim ( x , x ) → 0,0 ⁡ c o s x 2

Agora sim, substituindo x por 0 , temos

c o s 0 = 1

Aproximando pela curva y = x , o limite é

lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ s e n x y x y = 1

Passo 3

Aproximando pela curva y = x 2 , fazemos os mesmos procedimentos

lim ( x , x 2 ) → 0,0 ⁡ s e n x x 2 x x 2

lim ( x , x 2 ) → 0,0 ⁡ s e n x 3 x 3

Aplicando L’Hopital no limite

lim ( x , x 2 ) → 0,0 ⁡ d s e n x 3 d x d x 3 d x

Pela regra da cadeia

d s e n x 3 d x = 3 x 2 cos ⁡ x 3

Por derivada de polinômios

d x 3 d x = 3 x 2

Substituindo os resultados no limite

lim ( x , x 2 ) → 0,0 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ x 3 3 x 2

Cortando 3 x 2 de cima com o de baixo e substituindo x por 0, temos novamente

lim ( x , x 2 ) → 0,0 ⁡ cos ⁡ 0 = lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ s e n x y x y = 1

Passo 4

Vamos tentar mais uma curva, dessa vez y = 2 x 2 + x .

lim ( x , 2 x 2 + x ) → 0,0 ⁡ s e n x 2 x 2 + x x 2 x 2 + x

lim ( x , 2 x 2 + x ) → 0,0 ⁡ s e n 2 x 3 + x 2 2 x 3 + x 2

Aplicando L’Hopital novamente

lim ( x , 2 x 2 + x ) → 0,0 ⁡ d s e n 2 x 3 + x 2 d x d 2 x 3 + x 2 d x

Pela regra da cadeia

d s e n 2 x 3 + x 2 d x = 6 x 2 + 2 x cos ⁡ 2 x 3 + x 2

Por derivada de polinômios

d 2 x 3 + x 2 d x = 6 x 2 + 2 x

Substituindo os resultados no limite novamente

lim ( x , 2 x 2 + x ) → 0,0 ⁡ 6 x 2 + 2 x cos ⁡ 2 x 3 + x 2 6 x 2 + 2 x

Cortando o polinômio 6 x 2 + 2 x de cima com o de baixo e substituindo x por 0 , temos

lim ( x , 2 x 2 + x ) → 0,0 ⁡ cos ⁡ 2 0 3 + 0 2 = 1

lim ( x , 2 x 2 + x ) → 0,0 ⁡ cos ⁡ 0 = lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ s e n x y x y = 1

Passo 5

Podemos perceber que mão importa o que fazemos, aplicando L’Hopital e depois a regra da cadeia, sempre resultamos em cos ⁡ 0 = 1 , ou seja, o limite sempre se converte para 1 .

Podemos explicar isso de forma geral, substituindo x y por g x , y

lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ s e n g x , y g x , y

Aplicando L’Hopital

lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ d s e n g x , y d x d g x , y d x

Pela regra da cadeia e derivação de polinômios

d s e n g x , y d x = g ' x , y c o s g x , y

d g x , y d x = g ' x , y

Substituindo os resultados no limite novamente

lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ g ' x , y c o s g x , y g ' x , y

lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ c o s g x , y

Como g x , y sempre é 0 quando substituímos x , y por 0,0 , então o limite sempre é igual a 1 !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ s e n x y x y = 1

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