Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2017, Questão 1

Considere a função

f x , y = x 2 - y 2 + 1 x 2 + y 2 - 1

  1. Determine o domínio de f
  2. Encontre uma equação para as curvas de nível c = - 1 e c = 0 de f . Esboce tais curvas no sistema cartesiano.
  3. Existe lim x , y 0,1 f ( x , y ) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

a )

Falou em domínio, a primeira coisa que tem que vir na nossa cabeça é RESTRIÇÃO.

Nesse caso, temos uma fração, então o denominador tem que ser diferente de zero:

x 2 + y 2 - 1 0

x 2 + y 2 1

Assim, o domínio da nossa função é:

D f = x , y R 2   ;   x 2 + y 2 1  

Que corresponde a todo o plano, exceto os pontos que estiverem sobre a circunferência

x 2 + y 2 = 1

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Passo 2

b )

Ótimo! Agora vamos determinar as curvas de nível.

Para isso, basta igualarmos a expressão da função aos valores de c pedidos.

Mas, antes, vale lembrar que se a função não estiver definida num ponto, nenhuma curva de nível poderá passar por ele.

Beleza, então, para c = - 1 , a curva de nível é:

f x , y = x 2 - y 2 + 1 x 2 + y 2 - 1 = - 1

x 2 - y 2 + 1 = - x 2 - y 2 + 1

2 x 2 = 0

x = 0

Assim, a curva de nível - 1 de f é toda a reta x = 0 , exceto os pontos dessa reta que cortarem a circunferência x 2 + y 2 = 1

E esses pontos são

0 2 + y 2 = 1

y = ± 1

P 1 = ( 0,1 ) e P 2 = ( 0 , - 1 ) .

Passo 3

Agora, para c = 0 , a curva de nível é:

f x , y = x 2 - y 2 + 1 x 2 + y 2 - 1 = 0

x 2 - y 2 + 1 = 0

x 2 - y 2 = - 1

Assim, a curva de nível zero de f é toda a hipérbole x 2 - y 2 = - 1 , exceto os pontos dessa hipérbole que cortarem a circunferência x 2 + y 2 = 1

E esses pontos são P 1 = ( 0,1 ) e P 2 = ( 0 , - 1 ) .

Passo 4

Agora só nos resta esboçar tudo isso junto.

Assim, esboçando a reta x = 0 (vermelha);

Esboçando a hipérbole (azul)

x 2 - y 2 = - 1

Cortando o eixo y .

E, esboçando a circunferência (verde) que delimita o domínio

x 2 + y 2 = 1

Temos

Onde os pontos marcados são pontos onde não existe curva de nível, porque a função não está definida.

Passo 5

c )

Agora queremos saber se lim x , y 0,1 f ( x , y ) existe.

Vamos pensar que ele não existe. Como fazemos para provar isso?

Geralmente a gente calcula esse limite por caminhos diferentes e se obtivermos resultados diferentes, então quer dizer que o limite não existe.

Mas, nesse caso, se você reparar as curvas de nível que desenhamos na letra b , vai ver que conforme nossa f ( x , y ) se aproxima do ponto x , y = ( 0,1 ) , ora ela pode valer 0 (quando está sobre a curva de nível zero), ora pode valer - 1 (quando está sobre a curva de nível - 1 ).

Ou seja, se usamos dois caminhos diferentes (curva de nível c = 0 e c = - 1 ), nossa função tende a valores diferentes, logo, esse limite não pode existir.

Resposta

a )

D f = x , y R 2   ;   x 2 + y 2 1  

b )

Curva de nível - 1 : x = 0

Curva de nível 0 :

x 2 - y 2 = - 1

c )

Não, pois se usamos dois caminhos diferentes (curva de nível c = 0 e c = - 1 ), nossa função tende a valores diferentes.

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