Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja λ um parâmetro real, e seja f ( x , y ) a função seguinte:

f x , y = x y λ x + | y | ,       p a r a   x , y ≠ ( 0,0 )

Calcule para que valores de λ existe o limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

Passo 1

Faaala pessoal! Devemos procurar usar o Teorema do Confronto ao abrir os casos. Mas primeiramente, observe que para λ < 0 , temos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y ) = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 1 x + | y | ⋅ 1 x y - λ = ∞

Similarmente, para λ = 0 :

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y ) = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 1 x + | y | = ∞

Contudo, para 0 < λ < 1 / 2 , se nos aproximássemos da origem por meio da reta y = m x , teríamos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y ) = lim x → 0 ⁡ x ⋅ m x λ x + | m x | =

= m λ 1 + m lim x → 0 ⁡ x 2 λ - 1 = ∞

Passo 2

Para λ = 1 / 2 , se nos aproximássemos da origem por meio da reta y = m x , teríamos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = lim x → 0 ⁡ x ⋅ m x 1 2 x + m x

= m 1 2 1 + m lim x → 0 ⁡ x x

= m 1 2 1 + | m |

Logo, o limite dependeria da direção de aproximação de forma que este não existe.

E ainda para λ > 1 / 2 :

0 ≤ f x , y = x y λ x + y ≤ y λ - 1 / 2 x λ - 1 / 2

Uma vez que:

0 ≤ x y 1 2 x + y ≤ x 2 + 2 x y + y 2 x + y  

≤ x + y x + y = 1

Assim, tirando esta parte de f ( x , y ) , resta a desigualdade prevista. E como l i m x , y → ( 0,0 ) 0 = l i m x , y → ( 0,0 ) y λ - 1 / 2 x λ - 1 / 2 = 0 , pelo Teorema do Confronto, temos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y ) = 0

Resposta

Assim, o limite existe e é finito apenas para λ > 1 / 2 .

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