Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

O limite a seguir existe? Se sim, igual a quanto?

l i m x , y → 0,0 4 x y 3 + 2 x 3 - y 7 x 2 + 5 y 6  

Passo 1

Vamos lá, neste caso, como não temos senos ou cossenos na jogada, e não parece muito simples dividir nossa função em duas ou mais partes, vamos começar tentando provar que esse limite não existe, encontrando dois limites!

Como temos uma soma no denominador, podemos optar por um caminho com uma das variáveis iguais a 0 , como t , 0 , por exemplo:

l i m t → 0 4 t . 0 3 + 2 t 3 - 0 7 t 2 + 5 . 0 6 =

l i m t → 0 2 t 3 t 2 = l i m t → 0 2 t = 0

Beleza! Encontramos um limite igual a 0 !

Passo 2

Agora, temos que pensar num jeito de fazer o limite ficar diferente de 0 . Para isso, seria uma boa deixar o grau no numerador e denominador igual, para podermos cortar. Por exemplo, no denominador, temos x 2 e y 6 . Se fizermos pelo caminho t 3 , t , teremos o mesmo grau:

l i m t → 0 4 t 3 t 3 + 2 t 3 3 - t 7 t 3 2 + 5 t 6 =

Colocando os expoentes certinho, teremos:

l i m t → 0 4 t 6 + 2 t 9 - t 7 6 t 6 =

l i m t → 0 4 t 6 6 t 6 + l i m t → 0 2 t 9 6 t 6 + l i m t → 0 - t 7 6 t 6

Como o grau do numerador do segundo e terceiro limites é maior do que do denominador, quando cortar, sobra só o numerador, e esses limites darão 0 . Já, para o primeiro limite, temos:

l i m t → 0 4 t 6 6 t 6 = l i m t → 0 2 3 = 2 3

Ou seja, encontramos um outro limite, diferente de 0 , e então o limite da função não existe!

Resposta

O limite não existe, pois encontramos dois limites diferentes

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Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2