Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere a função

f x ,   y = 2 y x - 1 2 x - 1 2 + y 2 + 4 x y - 1 x 2 + y - 1 2

para todo x ,   y ≠ 1 ,   0 e x ,   y ≠ 0 ,   1 . O valor do limite lim x ,  y → 0,1 ⁡ f x ,   y é

a) - 1 .

b) 0 .

c) - 2 .

d) 2 .

e) inexistente.

Passo 1

Eai pessoal, beleza? Bora tentar calcular esse limite?

Queremos calcular o limite:

lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ 2 y x - 1 2 x - 1 2 + y 2 + 4 x y - 1 x 2 + y - 1 2

Note que quando x → 0 e y → 1 , o primeiro termo tende a

2 y x - 1 2 x - 1 2 + y 2 → 2 ⋅ 1 ⋅ 1 1 + 1 = 1

Quando olhamos para o segundo termo, vemos que ele fica numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Por uma questão de simplicidade, vamos chamar

g x ,   y = 4 x y - 1 x 2 + y - 1 2

Assim,

f x ,   y = 2 y x - 1 2 x - 1 2 + y 2 + g x ,   y

A primeira parte vimos que tende a 1 , e a segunda?

Passo 2

Olhando apenas para a segunda parte, testemos a curva γ a t = t ,   1 com t → 0 . Note que

g γ a t = g t ,   1 = 4 ⋅ t ⋅ 0 t 2 + 0 = 0

Portanto,

lim t → 0 ⁡ g γ a t = lim t → 0 ⁡ 0 = 0

Agora vamos testar um caminho y = x + 1 , de modo que γ b t = t ,   t + 1 com t → 0 . Assim,

g γ b t = g t + 1 , t = 4 t ⋅ t t 2 + t 2 = 4 t 2 2 t 2 = 2

Logo,

lim t → 0 ⁡ g γ b t = lim t → 0 ⁡ 2 = 2

Assim, por esses caminhos:

lim t → 0 ⁡ f γ a t = 1 + 0 = 1

lim t → 0 ⁡ f γ b t = 1 + 2 = 3

Passo 3

Como os limites por caminhos diferentes são diferentes, podemos garantir que ele não existe! Com isso, caímos na alternativa E 😊

Resposta

Alternativa E.

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