Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim x , y → 0 , 0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 3

Passo 1

Vamos primeiro tentar substituir os valores x , y = ( 0 , 0 ) diretamente:

0 0 2 + 0 2 3

Claramente não deu certo, caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”.

Passo 2

Beleza, acontece que olhando para a expressão desse limite, a gente não vê de cara uma situação em que podemos usar teorema do sanduiche, não temos expressões trigonométricas e nem tem expressões parecidas no numerador e no denominador. Como a gente faz então?

Vamos supor que esse limite não existe e, para provar isso, vamos tentar aquela parada de ir por caminhos diferentes.

Primeiramente, vamos escolher o caminho ( t , 0 ) :

lim t , 0 → 0,0 ⁡ t 3 t 2 + 0 2 3 = lim t , 0 → 0,0 ⁡ t 3 ( t ² ) 3 2 = lim t , 0 → 0,0 ⁡ t 3 t 3 = 1

Passo 3

Agora vamos escolher outro caminho. Por exemplo, a curva ( t , t ) :

lim t , t → 0,0 ⁡ t 3 t 2 + t 2 3 = lim t , t → 0,0 ⁡ t 3 2 t 2 3 = lim t , t → 0,0 ⁡ t 3 8 . t 3 = 1 8

OPA, pronto! Esse limite realmente não existe, pois escolhendo dois caminhos diferentes, ele deu resultados diferentes.

Resposta

O limite não existe.

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Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2