Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

USP P1 2011 A, questão 3b

Decida se existe

l i m x , y → 0,0 x 3 y 4 + x 5 y 4 3 x 6 + y 8

Passo 1

Então, galerinha, a gente sempre começa substituindo o valor do limite na função. Neste caso, vamos chegar numa indeterminação 0 0 . Então vamos partir para aquela estratégia de chutar caminhos.

Mas calma, vamos “chutar” conscientemente, beleza? Primeiro, tentemos o mais fácil, achar o limite igual a 0 , fazendo o numerador da fração zerar antes do denominador. No caminho escolhido temos que x = t e y = 0 , pois temos y em todos os termos do numerador! Substituindo no limite, ficamos com

l i m t → 0 t 3 0 4 + t 5 0 4 3 t 6 + 0 8 = 0 t 6 = 0

Viu? Só escolher o caminho pensando onde queremos chegar é sempre bom ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos encontrar um limite diferente de 0 , pois se a função tiver um outro limite, significa que o limite não existe.

Vamos pensar em um caminho onde o grau do numerador e do denominador seja o mesmo, pois assim, teremos certamente encontraremos algo diferente de 0 !

Vamos olhar para o denominador: o grau do x é 6 , e do y é 8 . Para igualar os denominadores, precisamos achar o menor múltiplo comum, no caso é 24 .

Deste modo vamos fazer

x = t 4

O expoente 4 surgiu ao dividirmos 24 pelo grau de x no denominador.

Seguindo o mesmo raciocínio para y , faremos

y = t 3

Desta forma, quando formos substituir tudo no limite, igualaremos os expoentes no denominador!

Beleza, então, partamos para o caminho t 4 , t 3 :

l i m x , y → 0,0 t 4 3 t 3 4 + t 4 5 t 3 4 3 t 4 6 + t 3 8 = t 24 + t 24 2 t 24 = 1  

E aí está! O limite deu 1 ! Olha que coisa boa... como previsto, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe, pois encontramos dois limites diferentes!

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