Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine se o limite existe. Se existir, calcule seu valor:

b) lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y ³ x 3 + y 3 + 4 - 2

Passo 1

Olááá pessoal, vamos pra mais uma de limites?

O enunciado deu esse limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y ³ x 3 + y 3 + 4 - 2

E aí queremos calcular o valor dele ou então provar que ele não existe

Repara que quando x , y → ( 0,0 ) temos uma indeterminação:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y ³ x 3 + y 3 + 4 - 2 = 0 3 + 0 ³ 0 3 + 0 3 + 4 - 2 = 0 0

Uma forma interessante de resolvermos limite com raíz é multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado. Isso costuma simplificar muitíssimo a expressão que temos nesses casos hehehe

Então, o primeiro passo que vamos seguir é multiplicar em cima e embaixo por

x 3 + y 3 + 4 + 2

Fechou?

Passo 2

Temos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y ³ x 3 + y 3 + 4 - 2

Multiplicando em cima e embaixo por x 3 + y 3 + 4 + 2 :

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 . x 3 + y 3 + 4 + 2 x 3 + y 3 + 4 - 2 . x 3 + y 3 + 4 + 2

Opa, no denominador temos algo do tipo a + b . ( a - b ) . Sabemos que isso vai ser o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 . x 3 + y 3 + 4 + 2 x 3 + y 3 + 4 2 - 2 ²

Passo 3

Então temos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 . x 3 + y 3 + 4 + 2 x 3 + y 3 + 4 2 - 2 ²

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 . x 3 + y 3 + 4 + 2 ( x 3 + y 3 + 4 ) - 4

O + 4 e o - 4 do denominador se cancelam, então:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 . x 3 + y 3 + 4 + 2 ( x 3 + y 3 )

Cortando o x 3 + y ³ em cima e embaixo:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 + 4 + 2

Viu como a multiplicação pelo conjugado simplificou a expressão? Hahaha saímos da indeterminação!!

Passo 4

Então temos

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 + 4 + 2 = 0 + 0 3 + 4 + 2 = 2 + 2 = 4

Legal, então o limite existe sim e resulta em 4 :P

Resposta

4

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