Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Vamos começar substituindo x , y = ( 0,0 ) :

y x 2 + y 2   = 0 0 2 + 0 2   = 0 0

Êê, para nossa alegria (sqn), caímos numa indeterminação ☹

Beleza, vamo ver se a gente pode sair dela.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Só olhando por alto pra esse limite a gente não consegue ter nem uma ideia do que podemos fazer pra resolver esse problema da indeterminação.

Mas, uma boa dica é lembrar que, quando temos uma raiz quadrada de um número elevado ao quadrado, a gente sempre vai ter como resultado o módulo desse número.

E módulo significa então que nossa fração vai poder ser positiva ou negativa. Ou seja, nosso limite vai ter dois valores diferentes.

E isso lembra aquela parada de que se calculamos o limite por caminhos diferentes e o resultado dá diferente, é porque o limite não existe.

Vamos tentar seguir essa linha de raciocínio então.

Passo 3

Vamos tentar fazer o caminho x = 0 :

y 0 2 + y 2   = y y 2   = y y  

Se y > 0 , então temos:

y + y   = 1

Já se y < 0 , temos:

y - y   = - 1

Ou seja, dois resultados diferentes.

Esse limite então não pode existir.

Resposta

∄   L

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