Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Determine o conjunto de pontos em que a função é contínua

f x , y = - x y x 2 + x y + y ²     s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0     s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Oiii pessoal, vamos entender essa questão de continuidade

Temos essa função definida em partes

f x , y = - x y x 2 + x y + y ²     s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0     s e   x , y = ( 0,0 )

E queremos saber em quais pontos do R ² essa função é contínua

Olha só, a função - x y x 2 + x y + y ² só dá problema quando x = 0 e y = 0 . Em todo o resto ela é contínua!

Mas esse ponto ( 0,0 ) é justamente o ponto de quebra da função, quando ela muda de comportamento. Então ainda tem chance de rolar uma continuidade ali

Então, já podemos afirmar que a função é contínua em todo o R ² , mas que ainda precisamos testar no ponto ( 0,0 )

Pra que ela seja contínua em ( 0,0 ) , o limite de - x y x 2 + x y + y ² quando x , y → ( 0,0 ) tem que ser igual o valor da função nesse ponto, ou seja, igual a 0

Vamos lá calcular esse limite!

Passo 2

Precisamos calcular

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ - x y x 2 + x y + y ²

Se esse limite der 0 , a função f ( x ) é contínua em todo o R ² , incluindo no ponto ( 0,0 )

Se der diferente de 0, a função f ( x ) só não é contínua no ponto ( 0,0 )

Bem, repara que o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Então tem grandes chances de esse limite nem existir

Então, vamos fazer o teste pra ver se esse limite existe.

O teste consiste em calcular o limite por caminhos diferentes que passem pelo ponto ( 0,0 ) . Nesse caso, podemos por exemplo calcular o limite pela reta x = 0 e pela reta y = x , que são caminhos que passam pelo ponto ( 0,0 )

Passo 3

Vamos começar calculando o limite pelo caminho x = 0 :

lim x = 0 y → 0 ⁡ - x y x 2 + x y + y ² = lim x = 0 y → 0 ⁡ - 0 y 0 2 + 0 y + y ² = lim x = 0 y → 0 ⁡ 0 y ²

Opa, temos 0 y 2 . Independentemente do valor que o y estiver tendendo, isso sempre vai pra 0

Então:

lim x = 0 y → 0 ⁡ - x y x 2 + x y + y ² = 0

Agora vamos testar por outro caminho ok?

Passo 4

Vamos calcular o nosso limite agora pelo caminho da reta y = x :

lim x → 0 y = x ⁡ - x y x 2 + x y + y ² = lim x → 0 y = x ⁡ - x . x x 2 + x . x + x ² = lim x → 0 y = x ⁡ - x ² 3 x ² = - 1 3

Opa, indo por outro caminho o resultado deu diferente!!

Isso quer dizer que o limite da função quando x tende a 0 não existe!!

Portanto, não deu igual a 0 ! Logo, a função não é contínua no ponto ( 0,0 )

Os pontos de continuidade da função f ( x ) são

x , y ∈ R 2 x , y ≠ 0,0

Fechou?

Resposta

x , y ∈ R 2 x , y ≠ 0,0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y + y z x 2 + y 2 + z 2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → π , θ , 1 ⁡ e y 2 t g ( x z )
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,0 ) ⁡ x y - y x - 1 2 + y 2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ ( 5 x 3 - x 2 y 2 )
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2