Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Em cada um dos casos abaixo, verifique a existência de lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ f ( x ,   y ) :

c) f x ,   y = x 3 + y 3 x 3 - y 3 ,   x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se o limite da função f ( x ,   y ) existe quando x 0 ,   y 0 tende a ( 0 ,   0 ) . Substituindo x = 0 e y = 0 na função, a gente ver que isso dá uma indeterminação. Então, vamos testar o limite por um caminho genérico y = m x . Isso porque um limite existe apenas se não depender do caminho e ao variar o valor de m , estamos variando o caminho.

Sendo assim, fazendo y = m x , vamos calcular:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ x 3 + y 3 x 3 - y 3 = lim x → 0 ⁡ x 3 + ( m x ) 3 x 3 - ( m x ) 3

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar elevando os termos a seus expoentes:

lim x → 0 ⁡ x 3 + ( m x ) 3 x 3 - ( m x ) 3 = lim x → 0 ⁡ x 3 + m 3 x 3 x 3 - m 3 x 3

Colocando x 3 em evidência no numerador e no denominador, temos:

lim x → 0 ⁡ x 3 ( 1 + m 3 ) x 3 ( 1 - m 3 )

Simplificando fugimos da indeterminação e temos:

lim x → 0 ⁡ 1 + m 3 ( 1 - m 3 ) = 1 + m 3 1 - m 3

Como o valor do limite depende do valor de m , o limite depende do caminho. Como depende do caminho, o limite não existe!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

O   l i m i t e   n ã o   e x i s t e

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y + y z x 2 + y 2 + z 2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → π , θ , 1 ⁡ e y 2 t g ( x z )
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,0 ) ⁡ x y - y x - 1 2 + y 2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ ( 5 x 3 - x 2 y 2 )
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2