Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine se o limite existe. Se existir, calcule seu valor:

a) lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y - x y x 4 + y 4

Passo 1

Faaala galera. Nessa questão, vamos falar sobre limites 😉

O enunciado deu esse limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y - x y x 4 + y 4

E aí queremos calcular o valor dele ou então provar que ele não existe

Galera, repara que essa função é uma suspeita de o limite não existir, porque o grau dos termos do numerador é menor do que nos termos do denominador

Então, vamos fazer o teste pra ver se esse limite existe.

O teste consiste em calcular o limite por caminhos diferentes que passem pelo ponto ( 0,0 ) . Nesse caso, podemos por exemplo calcular o limite pela reta x = 0 e pela reta y = x , que são caminhos que passam pelo ponto ( 0,0 )

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y - x y x 4 + y 4

Vamos começar calculando esse limite pelo caminho de x = 0 :

lim x = 0 y → 0 ⁡ x 2 y - x y x 4 + y 4 = lim x = 0 y → 0 ⁡ 0 2 y - 0 y 0 4 + y 4 = lim x = 0 y → 0 ⁡ 0 y 4

Opa, temos 0 y 4 . Independentemente de onde o y estiver tendendo, isso sempre vai dar 0 !

Logo, o limite calculado pelo caminho x = 0 vai ser zero!

Agora vamos testar outros caminhos pra ver se vai dar algo diferente

Passo 3

Vamos testar o limite para o caminho y = x :

lim x → 0 y = x ⁡ x 2 y - x y x 4 + y 4 = lim x → 0 y = x ⁡ x 2 x - x . x x 4 + x 4 = lim x → 0 y = x ⁡ x 3 - x ² 2 x 4 = lim x → 0 y = x ⁡ x 3 - x ² 2 . x 4 = lim x → 0 y = x ⁡ x 3 - x ² 2 . x ² = lim x → 0 y = x ⁡ x ² ( x - 1 ) 2 . x ²

Então, cortando o x ² em cima e embaixo:

lim x → 0 y = x ⁡ x ² ( x - 1 ) 2 . x ² = lim x → 0 y = x ⁡ ( x - 1 ) 2 = - 1 2

Opa! Deu diferente do que encontramos no item anterior

Ou seja: quando nos aproximamos de ( 0,0 ) pela reta x = 0 , a função vai pra 0

Mas quando nos aproximamos pela reta y = x , a função vai pra - 1 2

Logo, o limite não existe, fechou?

Resposta

Não existe

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